Правило сложения дисперсий

В статистическом исследовании очень часто бывает необходимо не только изучить вариации признака по всей совокупности, но и проследить количественные изменения признака по однородным группам совокупности, а также между группами. Это связано с тем, что общая дисперсия характеризует вариацию признака как результат влияния всех факторов, определяющих индивидуальные различия единиц совокупности. Если же необходимо выделить в составе общей дисперсии ту ее часть, которая обусловлена влиянием какого-либо определенного фактора, то следует разбить изучаемую совокупность на группы, положив в основу группировки интересующий нас фактор. Затем нужно изучить раздельно вариацию признака внутри однородных по отношению к данному фактору групп и изменение величины признака от группы к группе. Выполнение такой группировки позволит разложить общую дисперсию признака на две дисперсии, одна из которых будет характеризовать часть вариации, обусловленную влиянием фактора, положенного в основу группировки, а вторая - вариацию, происходящую под влиянием остальных факторов. Следовательно, помимо общей средней для всей совокупности необходимо просчитывать и частные средние величины по отдельным группам. В связи с этим различают три вида дисперсий:

- общую;

- межгрупповую;

- среднюю внутригрупповую.

Общая дисперсия () характеризует вариацию признака всей совокупности под влиянием всех тех факторов, которые обусловили данную вариацию. Эта величина определяется по формуле

,

где - общая средняя арифметическая всей исследуемой совокупности.

Вариацию, обусловленную влиянием фактора, положенного в основу группировки, характеризует межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних), которая является мерой разброса частных средних по группам вокруг общей средней и вычисляется по формуле

,

где m - число групп, - число единиц совокупности в k-й группе, - частная средняя величина по k-й группе, - общая средняя величина всей исследуемой совокупности.

Средняя внутригрупповая дисперсия () свидетельствует о случайной вариации, которая может возникнуть под влиянием остальных факторов и которая не зависит от признака-фактора, положенного в основу группировки. Данная дисперсия рассчитывается следующим образом: сначала рассчитываются дисперсии по отдельным группам ():

,

а затем рассчитывается средняя внутригрупповая дисперсия ():

,

где - единицы совокупности, входящие в k-ю группу.

Все три вида дисперсии связаны между собой соотношением, определяемым правилом сложения дисперсий: общая дисперсия равна сумме межгрупповой дисперсии и средней внутригрупповой дисперсии:

.

Согласно этому правилу общая дисперсия, которая возникает под влиянием всех факторов, равна сумме дисперсий, которые появляются как под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки, так и под влиянием других факторов. Благодаря правилу сложения дисперсий можно определить, какая часть общей дисперсии находится под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки.

Соотношение межгрупповой и общей дисперсии называется коэффициентом детерминации , который показывает, какая доля в общей дисперсии приходится на дисперсию, обусловленную вариацией признака, положенного в основу группировки:

.

Замечание. Для определения степени связи между признаками используют корреляционное отношение (), введенное К. Пирсоном. Оно тесно связано с коэффициентом детерминации:

.

Корреляционное отношение изменяется от 0 до 1. Величина корреляционного отношения будет равна 0, когда нет влияния исследуемого фактора на вариацию признака, т.е. вариация обусловлена влиянием других неучтенных факторов. В тех случаях, когда внутригрупповая дисперсия близка к 0, т.е. практически вся вариация признака обусловлена действием исследуемого фактора, величина корреляционного отношения близка к 1.

Пример. По результатам статистического исследования о влиянии уровня образования на уровень оплаты труда сотрудников районного УВД (табл. 15), определить долю вариации заработной платы, обусловленную различиями в уровне образования сотрудников районного УВД.

Таблица 15

Решение. Вычисляем общее среднее значение, межгрупповую и среднюю внутригрупповую дисперсию:

Тогда общая дисперсия равна:

Следовательно, коэффициент детерминации равен:

Полученный коэффициент детерминации показывает, что вариация в оплате труда на 87% зависит от уровня образования сотрудников районного УВД.