Вращение и трение

Задача 3.3.

На краю наклонной плоскости с углом наклона α лежит тело. Плоскость равномерно вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω. Расстояние от тела до оси вращения плоскости равно R. Требуется найти наименьший коэффициент трения k, при котором тело удержится на вращающейся наклонной плоскости.

Рис.3.2.1

Студент: – К телу приложены три силы: сила тяжести G, сила реакции опоры N и сила трения F _тр.

Автор: – Хорошо, что Вы не добавили к ним центростремительную силу.

Студент: – Далее я разложу силы на направления вдоль плоскости и перпендикулярно ей.

Автор: – Здесь следует остановиться. Скажите, куда направлено ускорение?

Студент: – Ускорение направлено по горизонтали, т. к. это центростремительное ускорение.

Автор: – Правильно. Поэтому следует проецировать силы на горизонтальное и вертикальное направления. Мы уже говорили об этом.

Студент: – Я понял. Мой чертеж представлен на рис. 3.2.1. Вертикальные составляющие сил уравновешиваются, а горизонтальные компоненты обусловливают центростремительное ускорение. Получаем систему:

.

Учитывая, что F_тр=kN, V²/R= ω²R, G=mg, перепишем эти соотношения в виде:

.

Но здесь только два уравнения и три неизвестных: k, m, N.

Автор: – Тем не менее эти уравнения решить можно. Ведь нам надо найти не все эти три неизвестные, а только одно – коэффициент трения. Параметры m и N можно исключить, разделив первое уравнение на второе.

Студент: После деления получим

= .

Отсюда k = . Это окончательный ответ.

Автор: – Немного проанализируем его. Во-первых, видим, что должно выполняться условие (g cosα–ω² R sinα)>0.

Или tgα< .

Если это условие не выполняется, то никакая сила трения не в состоянии удержать тело на вращающейся наклонной плоскости.

Обратим внимание на два частных результата.

1. Если α=0, тело находится на горизонтальном вращающемся диске. Получаем k = ω² R/g.

2. Если ω =0, тело находится на неподвижной наклонной плоскости и "хочет" соскользнуть вниз при выполнении условия tgα=k. Этот результат мы часто будем встречать.

Задача 3.4. На проволочное кольцо радиусом R нанизана маленькая бусинка массой m. Кольцо вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через диаметр, с угловой скоростью ω. Где будет находиться бусинка?

Рис.3.2.2

Студент: – Обозначим угол отклонения бусинки от вертикали α. Тогда радиус вращения тела в горизонтальной плоскости r=R sin α. Центростремительная сила создается только горизонтальной составляющей силы взаимодействия с обручем, поэтому можно записать:

N sin α=mV²/r=mω²r= mω²R sin α. Сокращая на sin α, имеем выражение: N=mω²R.

Приравняв вертикальные компоненты сил тяжести и реакции опоры, получим N соs α=mg. Значит, N= mg/ соs α. Сравним оба выражения для N: mg/ соs α= mω²R. Окончательно имеем соs α=g/(ω²R).

Автор: – Это правильный ответ, но обратите внимание на любопытную деталь. По определению косинуса | соs α |≤1. Из Вашего ответа следует, что всегда можно подобрать такую угловую скорость ω, что выражение g/(ω²R) станет больше единицы. Как это понимать?

Студент: – Я в полной растерянности и не понимаю, почему ответ теряет смысл при медленном вращении.

Автор: – Всё дело в несколько небрежном сокращении на sin α. Как Вы помните, это можно делать только в случае, если sin α≠0. Иначе возможна потеря корня, что у Вас и произошло. Таким образом, ответ запишется так:

◄α=arccos[g/(ω²R)] при g/(ω²R)≤1,

α=0 при g/(ω²R)>1►.

История.

Когда Нильс Бор выступал в ФИАНе, то на вопрос о том, как удалось ему создать первоклассную школу физиков, он ответил: «По-видимому, потому, что я никогда не стеснялся признаваться своим ученикам, что я дурак …».

Переводивший речь Бора Лифшиц донес эту фразу до аудитории в таком виде: «По-видимому, потому, что я никогда не стеснялся заявить своим ученикам, что они дураки …».

Эта фраза вызвала оживление в аудитории, тогда Лифшиц, переспросив Бора, поправился и извинился за случайную оговорку. Однако сидевший рядом Капица глубокомысленно заметил, что это не случайная оговорка. Она фактически выражает принципиальное различие между школами Бора и Ландау, к которой принадлежал и Лифшиц.

§ 3.3