§ 3.1
Вращение и закон сохранения энергии
Рассмотрим задачу 3.1. Тело массой m соскальзывает без трения с верхушки вертикально поставленного обруча радиусом R. С какой силой оно будет давить на обруч, проходя точку, высота которой меньше высоты верхушки обруча на h? Начальная скорость тела на вершине обруча равна нулю.
Рис.3.1.1
Студент: – Начнём с расстановки сил. В данном случае их две: сила тяжести G и сила реакции опоры N. Дальше я найду равнодействующую этих сил и разложу ее на составляющие: вдоль радиуса и по касательной к окружности.
Автор: – Всё правильно. Однако проще не искать равнодействующую, а сразу разложить силы, приложенные к телу, на два указанных Вами направления. Тем более что разлагать придется только одну силу тяжести.
Студент: – Выполню такое разложение на рис.3.1.1. Сила G 1 обусловливает тангенциальное ускорение и нас не интересует. Равнодействующая сил G 2 и N вызывает центростремительное ускорение, т. е.
G 2 – N=mV2/R.
Автор: – Вы знаете, что, находясь на высоте h, тело обладает потенциальной энергией mgh, которая при падении тела перейдет в кинетическую mV 2/2. Воспользуйтесь этим свойством.
|
|
Студент: – m gh= m V2/2. Потенциальную энергию отсчитываем от точки А рис.3.1.1. Учитывая, что G 2 = m gcosα= m g(R–h)/R, получаем
М g(R–h)/R – N =2 m gh/R.
Искомая сила давления тела на обруч равна по модулю N в соответствии с третьим законом Ньютона
◄ N = mg(R–3h)/R►.
Автор: – Теперь найдите точку, в которой тело оторвется от обруча.
Студент: – А как написать уравнение отрыва?
Автор: – Специального уравнения писать не нужно. Точка отрыва соответствует крайнему случаю, когда сила давления тела на обруч уменьшается до нуля. Поэтому надо приравнять N нулю и решить полученное уравнение относительно переменной h.
Студент: – Сразу видно, что ◄ h = R /3►.
Автор: Это правильный ответ. Разберем следующую задачу 3.2.
Телу сообщают начальную скорость V0, чтобы оно смогло попасть из точки А в точку В. Предполагаются два варианта пути от А к В (рис.3.1.2). В обоих случаях тело должно преодолеть одну и ту же высоту Н, но по-разному. Найти минимальную начальную скорость для обоих случаев. Трения нет.
Рис.3.1.2
Студент: – Я думаю, что в обоих случаях минимальная скорость должна быть одна и та же. Телу надо преодолеть одну и ту же высоту, трения нет, и от пути ничего не зависит. Значит, скорость вычислим из закона сохранения энергии так: mg H =mV02/2. Откуда V0 = .
Автор: – Это неправильный ответ. В первом случае тело в высшей точке будет иметь скорость V, соответствующую центростремительному ускорению, которое создается равнодействующей силы тяжести и силы реакции опоры. Поскольку рассматривается задача на минимум, то следует считать, что в верхней точке окружности давление на опору исчезает, а следовательно, и реакция опоры сводится к нулю. При этом на тело действует только сила тяжести, которая и сообщает ему центростремительное ускорение, т. е.
|
|
mg=mV2/R, где R= Н /2.
Добавим к динамическому равенству энергетическое соотношение mV02/2= mV2/2+ mg H, получаем, что минимальная начальная скорость равна ◄V0= ►.
Во втором случае частица может проходить верхнюю точку траектории при скорости, бесконечно близкой к нулю, так что можно ограничиться энергетическими соображениями. И этот результат Вы уже получали.
◄V0 = ►.
Студент: – Я понял, что в первом случае, если бы тело не имело в верхней точке скорости, то оно просто свалилось бы вниз.
Автор: – Да, если бы в первом случае тело имело скорость V0= , то оно "не дотянуло" бы до верхушки обруча и оторвалось бы от опоры несколько раньше. Найдите, пожалуйста, эту высоту отрыва h.
Студент: – В точке отрыва реакция опоры равна нулю. Значит, на частицу действует только сила тяжести G. Разложим ее на составляющие вдоль радиуса (mg cosα) и перпендикулярно ему (mg sinα), как показано на рис.3.1.2. Составляющая вдоль радиуса сообщает телу центростремительное ускорение
mg cosα= mV12/R, где V1– скорость тела в точке отрыва.
Воспользуемся энергетическим равенством
mV02/2= mV12/2+ mgh.
Учитывая, что cosα=(h–R)/R, получаем
mg (h–R)= mV02 –2 mgh.
Отсюда находим
h=(2V02+gH)/(6g). (3.1)
Подставляя V0= , получим искомый результат:
h =5Н/6.
Автор: – Все правильно. Замечу, что, используя выражение (3.1), можно найти такую начальную скорость V0, которая позволила бы телу описать мертвую петлю. Для этого надо приравнять h=H. Тогда
Н =(2V02+g H)/(6g),
откуда следует уже известный нам результат
V0= .
Студент: – Правильно ли я понял, что в самой верхней точке мертвой петли тело не отрывается, а, пройдя эту точку, продолжает движение по окружности? Можно даже сказать, что тело оторвалось как бы на одно мгновение.
Автор: – Да вы правы.
История.
На экзамене по физике профессор пишет уравнение и спрашивает студента:
– Что такое ?
– Постоянная планки!
– А ?
– Высота этой планки.
§ 3.2