Теория метода измерения

Запишем законы сохранения момента импульса и энергии, пренебрегая, ввиду малости его значения, моментом сил трения, в следующем виде:

mV = (I₁ + m ²) w (1) , (2)

где m - масса снаряда,

V - скорость снаряда в момент попадания его в мишень,

- расстояние от оси вращения ОО^' до точки попадания снаряда в мишень,

I ₁ - момент инерции маятника,

w - угловая скорость маятника в момент попадания снаряда в мишень,

a₀ - наибольший угол отклонения стержня от положения равновесия,

D - модуль кручения.

Выразим w ² из уравнений (1) и (2)

ω² = (3) ω² = . (4)

Приравняв правые части (3) и (4), получаем выражение для V² в виде

.

Для данной конкретной установки ml ² « I₁, и формула для определения скорости снаряда принимает вид:

. (5)

Для исключения величины D воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела

,

где М - момент сил упругости, ε – угловое ускорение мишени со снарядом.

В свою очередь, M = – Dα. Знак (-) указывает на то, что этот момент возвращает систему в состояние устойчивого положения равновесия. Тогда

I₁ε = –Dα. (6)

Здесь α – угол поворота стержня с закрепленной на нем мишенью. Учитывая, что угловое ускорение ε = , перепишем уравнение (6) в виде

.

Введя обозначение , приходим к уравнению

.

А это - дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решением является уравнение вида: α = α₀ sin ωt. Поскольку период колебаний: T = , то формула для определения периода колебаний крутильного баллистического маятника с грузами m ₁ запишется в виде:

T ₁ = , (7) откуда . (7а)

Уменьшим момент инерции системы на величину ∆I, сняв оба груза m₁. Согласно теореме Штейнера, можно найти изменение момента инерции системы ∆I = 2(I₀ + m₁d²), где – момент инерции грузов - дисков (массой m₁ и радиусом r) относительно собственной оси симметрии, через d обозначено расстояние от оси ОО^' до оси грузов, получим значение нового периода колебаний системы Т ₂ для системы со снятыми грузами m ₁:

T ₂ = , (8) откуда . (8а)

Совместное рассмотрение (7а) и (8а) позволяет получить значение I ₁:

.

Для используемой нами установки m₁r ² «2 m₁d ², поэтому

. (9)

Подставляя значения D и I ₁ в формулу (5), получаем рабочую формулу для определения скорости снаряда:

. (10)

Здесь T ₁ и T ₂ – периоды колебаний нагруженного и ненагруженного баллистического крутильного маятника соответственно; m ₁ - масса съемных грузиков, m – масса снаряда; l – расстояние от оси вращения системы до следа снаряда на мишени; d – расстояние от съемных грузов m ₁ до оси вращения ОО', α₀ – максимальный угол поворота стержня.