Всякое тело, подвешенное в точке, лежащей выше его центра тяжести, может колебаться и представляет собой физический маятник (рис. 10.1).
Если мятник отклонить от положения равновесия на угол j, то сила тяжести создает относительно оси вращения (проходит через т. О1 перпендикулярно к плоскости рисунка) вращающий момент
, (10.1)
где l1 - расстояние от оси вращения до центра тяжести С, m – масса маятника, а угол j отсчитывается от вертикальной линии против часовой стрелки. Момент силы М стремится вернуть маятник в положение равновесия.
При малых углах отклонения колебания маятника будут близки к гармоническим. Действительно, при малых углах sinj» j и (10.1) принимает вид:
. (10.2)
По основному закону динамики вращательного движения
, (10.3)
где J – момент инерции маятника относительно оси О1,
ε = d2φ / dt2 - угловое ускорение
Подставляем M и ε в (10.3), получим
. (10.4)
Обозначая , перепишем (10.4) в виде
. (10.5)
Уравнение (10.5) – дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Решением этого уравнения является функция
|
|
, (10.6)
где j0 - максимальный угол отклонения маятника от положения равновесия, а - круговая (или циклическая) частота.
Для периода колебаний получаем:
. (10.7)
Величину называют приведенной длиной физического маятника. Подставив это в (10.7), найдем, что приведенной длина физического маятника равна длине математического маятника с таким же периодом колебаний.
Точка, находящаяся на расстоянии lпр от точки подвеса по лини, проходящей через центр тяжести, называется центром качания.
Точка подвеса и центр качания обладают свойством обратимости: если центр качания сделать точкой подвеса, то прежняя точка подвеса станет новым центром качания, при этом период колебаний не изменится.
Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой Штейнера: момент инерции тела относительно оси z равен моменту инерции этого тела относительно оси z’, проходящей через его центр инерции параллельно оси z, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями z и z’, т.е. (рис. 10.2)
, (10.8)
где J - момент инерции относительно оси z, J0 - момент инерции относительно оси z’, m - масса тела, l - расстояние между осями z и z’.
Рассмотрим вращение физического маятника вокруг т. О1 (рис. 10.1).
Проведем линию О1С и на ее продолжении возьмем точку О2, такую, что О1О2= . Обозначим О2С= , так что . Тогда
.Таким образом, . Теперь перевернем маятник и рассмотрим его вращение вокруг оси, проходящей через т. О2, при этом
,
откуда следует, что lпр1 =lпр2.
Зная период колебаний физического маятника и его приведенную длину lпр, ускорение свободного падения рассчитаем по формуле:
|
|
. (10.9)
Таким образом, для определения g с помощью физического маятника необходимо измерить период колебаний T и определить приведенную длину маятника lпр.