double arrow

Криволинейное движение

Дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки вдоль оси Ох имеет вид:

если рассматривается случай зависимости силы только от времени, координаты и скорости. Начальные условия задаются в форме:

t=0; x=x0, vx=v0.

Наиболее важные случаи прямолинейного движения точки полу­чаются тогда, когда сила постоянна или она зависит только от вре­мени, координаты х, или от скорости v. Если сила постоянна, то имеем случай равнопеременного движения, то есть движения с посто­янным ускорением. Сила зависит от времени обычно, когда ее изме­няют путем прямого регулирования. Силу, зависящую от координаты, создает сжатая пружина или центр тяготения. Силы, зависящие от скорости, чаще всего являются силами сопротивления.

Пример 1. Точка массы m движется под действием постоянной силы F с начальной скоростью v0. (t=0, x=0, vx=v0):

используя начальные условия получаем С1=v0

из начальных условий определяем С2=0 и в результате закон движе­ния точки имеет вид:

Пример 2. Точка массы m движется из начального положения по­коя под действием переменной силы F = kSinωt. Начальные условия t=0, x=0, vx=0. (рис. 37)

Рис. 37

Из начальных условий определим

(t=0 C2=0)

Получаем, что тело двигается равномерно с постоянной скоро­стью вправо и на это движение будет накладываться периодическое "модулирующее" движение. Заметим, что составляющей "дрейфа" не было бы, если бы начальные условия имели вид:

Пример 3. Точка массы m брошена вертикально вверх с поверхности земли с начальной скоростью v0 и движется под действием силы тяго­тения (Рис. 38). Начальные условия: t=0, x=R3, v=v0;

Имеем дифференциальное уравнение:

Рис. 38

Используя подстановку получаем уравнение

Разделяем переменные и берем интегралы:

или откуда

(*)

Для определения xmax (максимальная высота подъема), положим v=0, тогда

и при,

это выполняется для v0=11.2 км/с (вторая космическая скорость).

Полученную зависимость (*) скорости точки от высоты подъема можно использовать для определения закона движения (x=f(t)), разде­лив еще раз переменные и проведя интегрирование.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: