Пример 7. Проинтегрировать дробно-рациональные функции

;

.

Решение примера : Поскольку дробно-рациональная функция представляет собой неправильную дробь (степень многочлена числителя не меньше степени многочлена знаменателя), выделим из дроби целую часть и правильную дробь, у которой степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя. Процесс выделения проыведем с помощью деления в столбик:

.

Таким образом, имеем:

.

При вычислении был использован табличный интеграл

.

Решение примера :

Как и в примере , неправильную дробь с помощью деления в столбик можно представить, как сумму целой части и правильной дроби. Однако вместо деления в столбик мы воспользуемся почленным делением дроби:

.

Здесь был использован табличный интеграл .

Решение примера :

Рассматриваемая дробь является правильной дробью, однако ввиду того, что знаменатель разлагается на простые множители, удобно саму дробь разложить на простые дроби. Воспользуемся для этого методом неопределенных коэффициентов:

.

В силу тождественного равенства левой и правой дроби, соответствующие коэффициенты числителей (левой и правой дроби) должны совпадать. Откуда имеем:

Решаем полученную систему двух уравнений и находим неизвестные коэффициенты.

Таким образом, заданная правильная дробь представляется суммой простых дробей:

,

откуда

.

Здесь опять был использован табличный интеграл .

Решение примера :

Заданная дробно-рациональная функция является правильной дробью. Методом неопределенных коэффициентов разложим ее на сумму простых дробей:

.

Приравнивая коэффициенты перед одинаковыми степенями числителей левой и правой дроби, получаем систему уравнений для коэффициентов :

Решая систему, находим коэффициенты:

. Таким образом, имеем разложение:

,

откуда

.

Здесь опять использовался табличный интеграл .

Решение примера :

Дробно-рациональная функция является неправильной дробью. Делением в столбик, выделяем из нее целую часть и правильную дробь:

.

При этом искомый интегра равен:

.

Здесь был использован метод интегрирования квадратного трехчлена, который применялся при решении примера 6. Из табличных интегралов использовались:

.

Покажем, также как производилось деление в столбик:

.

Решение примера :

Заданная дробно-рациональная функция представляет собой неправильную дробь. Делением в столбик выделяем из нее целую часть и правильную дробь:

.

Методом неопределенных коэффициентов правильную дробь разлагаем на простые дроби:

Приравнивая коэффициенты числителей при одинаковых степенях левой и правой дроби, получим систему уравнений для нахождения коэффициентов:

Решая систему, находим коэффициенты:

Искомый интеграл представляется в виде:

.

Из табличных были использованы интегралы:

.

Покажем еще, как производилось деление в столбик:

.