Пример решения задачи методом множителей Лагранжа

Потребитель имеет финансовые средства в объёме 360 условных денежных единиц, которые он готов потратить на приобретение двух видов продукции А1 и А2. При известных ценах за единицу каждого вида продукций Р₁=3 усл.ден.ед. и Р₂=4усл.ден.ед. (соответственно) найти такое количество продукций видов А1 и А2, которые может приобрести потребитель, максимизируя свою полезность U(x₁;x₂)=x₁^4/5 *x₂^1/5, где х₁ – количество продукта вида А1, х₂ – количество продукта вида А2. При этом потребитель должен использовать финансовые средства в полном объёме.

Решение

Составляем экономико-математическую модель задачи:

U(x1;x2) = x₁^4/5*x₂^1/5 → max

3*x₁ + 4*x₂= 360

Составляем функцию Лагранжа:

L(x₁,x₂,λ) = x₁^4/5*x₂^1/5 + λ*(3x₁ + 4x₂)

Находим частные производные от функции Лагранжа по трём переменным:

ðL(x₁,x₂,λ)/ðx₁ = 0.8*x₁^-1/5*x₂^1/5 + 3*λ

ðL(x₁,x₂,λ)/ðx₂ = x₁^4/5*0.2*x₂^-4/5 + 4*λ

ðL(x₁;x₂;λ)/ðλ= 3*x₁ + 4*x₂ – 360

Составляем систему уравнений, приравняв производные нулю:

0.8*х₁^-1/5*x₂^1/5 + 3*λ = 0

X₁^4/5 *0.2*x₂^-4/5 + 4*λ = 0

3*x₁ + 4*x₂ = 360

Для решения системы уравнений преобразуем два первых равенства:

0.8*х₁^-1/5*x₂^1/5 = - 3*λ

X₁^4/5*0.2*x₂^-4/5 = - 4*λ

Разделив первое равенство на второе, и выполнив алгебраические преобразования, получаем:

3*х₁ = 16*х_2.

Выразив х₁ = (16/3)*х_2, из третьего уравнения получаем х₂ = 96 и х₁ =18.

В итоге решением этой системы уравнений является:

х₁ = 96; х₂ = 18; λ = -1.4 и значение функции полезности U(x₁,x₂) = 68.6

Найдём значение функции полезности в любой другой точке, удовлетворяющей ограничениям ЭММ задачи.

Возьмём точку (120; 0). Значение U(120; 0) = 0.

Значит, в точке (96; 18) функция полезности достигает своего максимума.Т.о., чтобы максимизировать свою функцию полезности потребитель должен приобрести продукции вида А1 - 96 усл.ед. и продукции вида А2 - 18 усл.ед.