Бесконечное и континуальное

Идея бесконечного в понимании Лейбница (которая была, напомним, всего лишь идеей множества, превосходящего всякое число) иногда выступает в виде "дискретного бесконечного", как в случае с так называемыми бесконечными числовыми последовательностями; но наиболее привычным её видом и также наиболее важным, в плане значения для исчисления бесконечно малых, является "континуальное бесконечное". В этом отношении следует напомнить, что, когда Лейбниц, приступая к своим исследованиям (которые, по его словам, должны были привести к открытию его метода), работал с последовательностями чисел, он сперва рассматривал только разницы, являющиеся "конечными" в обычном смысле этого слова; бесконечно малые разницы он рассматривал только когда вставал вопрос приложения числовой дискретности к пространственному континууму. Поэтому введение дифференциалов было оправдано наблюдением некоторой аналогии между соответствующими типами переменности в двух этих модусах величин; но бесконечно малый характер этих разниц проистекал из континуальности величин, к которым они должны были прилагаться, и, таким образом, для Лейбница понятие "бесконечно малого" было тесно связано с понятием "структуры континуума".

В "строгом" смысле, "бесконечно малые" должны представлять собой partes minimae (мельчайшие части) континуального, как думал Бернулли; но очевидно, что континуальное, поскольку оно существует как таковое, всегда делимо и, следовательно, не может иметь partes minimae. Равным образом, о "неделимых" нельзя сказать, что они являются частями того, по отношению к чему они неделимы, и "минимум" может пониматься здесь только как предел или край, а не как элемент: "Линия не только меньше любой плоскости, – писал Лейбниц, – она даже не является частью плоскости, а всего лишь минимумом или краем"¹; и, с его точки зрения, это слияние понятий "края" и "минимума" может быть обосновано "принципом континуальности" в том смысле, что, согласно Лейбницу, этот принцип позволяет "переход к пределу", что мы подробно поясним далее. Как мы уже говорили, то же самое верно для точки по отношению к линии и для поверхности по отношению к объёму; с другой стороны, бесконечно малые элементы должны быть частями континуального, без которого они даже не могут быть величинами; и они могут быть величинами только при условии, что они не являются в действительности "бесконечно малыми", ибо тогда они были бы ничем иным, как partes minimae (мельчайшими частями) или "конечными элементами", само существование которых подразумевает противоречие в рамках континуального. Таким образом, сам характер континуального не позволяет бесконечно малым величинам быть чем-то иным, нежели просто фикциями; но с другой точки зрения, всё же именно существование этой континуальности делает их "прочно укоренёнными фикциями", по крайней мере, с точки зрения Лейбница: если "в области геометрии их можно рассматривать как совершенно реальные", то это по той причине, что протяжённость, которая является объектом геометрии, представляет собой континуальное явление; и если то же самое верно в случае природы вообще, то потому что тела также протяжённы, и потому что континуальность существует во всех явлениях, таких как движение, носителями которого являются тела, которые выступают объектами механики и физики. Вместе с тем, если тела непрерывны, то это потому, что они протяжённы и причастны природе протяжённости; и, подобным образом, континуальность движения, а также различных явлений, более или менее непосредственно с ним связанных, непосредственно происходит из его пространственного характера. Таким образом, континуальность протяжённости в конечном счёте представляет собой истинное основание всех иных видов континуальности, обнаруживаемых в телесной природе; и именно по этой причине мы, вводя существенное различие, не произведённое в этом отношении Лейбницем, подчеркнули, что в реальности следует приписывать свойство "бесконечной делимости" не "материи" как таковой, а протяжённости.

1 Meditatio nova de natura anguli contactus et osculi, horumque usu in practica Mathesi ad figuras faciliores succedaneas difficilioribus substituendas (Новое рассуждение о природе углов касания и об их использовании в практической математике для замены сложных фигур более простыми), в: Acta Eruditorum, Лейпциг, 1686.

Здесь излишне рассматривать вопрос других возможных форм континуальности, независимых от её пространственных форм; в самом деле, при рассмотрении величин всегда приходится возвращаться к континуальности пространства и рассмотрения этой континуальности вполне достаточно при любых операциях, имеющих отношение к бесконечно малым величинам. Тем не менее вместе с пространственной континуальностью следует рассматривать и континуальность времени, ибо, вопреки странному мнению Декарта по этому вопросу, время действительно непрерывно по своей природе*, а не только в связи со своим пространственным представлением в движении, используемым для его измерения². В этом отношении можно сказать, что движение является как бы вдвойне континуальным, ибо оно континуально в силу как пространственной, так и временной обусловленности; и такой род сочетания пространства и времени, результатом которого является движение, не был бы возможен, если бы одно из них было дискретным, а другое континуальным. Это соображение также позволяет ввести континуальность в различные категории явлений природы, относящихся скорее ко времени, чем к пространству, хотя и происходящих в обеих этих сферах, как, например, любые процессы органического развития. Вместе с тем, в отношении структуры временного континуума следует повторить всё, сказанное ранее о структуре пространственного континуума, и в силу такого рода симметрии, существующей, как мы видели, между пространством и временем, следует прийти к точно таким же выводам, как и в случае пространственного континуума: мгновения, рассматриваемые как неделимые, могут быть частями длительности не в большей мере, чем точки частями протяжённости (что также признавал и Лейбниц), и это снова пример тезиса, достаточно хорошо известного схоластам; словом, общей характеристикой любого вида континуальности является исключение ею возможности существования "конечных элементов".

* Отрицание атомизма времени (и атомизма вообще) весьма странно для Генона как мусульманина и тем более суфия (см.: А.В. Смирнов. Время в арабо-мусульманской философии. // Новая философская энциклопедия. т. 1. Москва, 2010). (прим. перев.)

2 Ср.: Царство количества и знамения времени, гл. 5.

Сказанное до сих пор в достаточной степени указывает, в каком смысле можно понимать то, что, с точки зрения Лейбница, континуальное с необходимостью заключает бесконечное; но, конечно, не следует рассматривать вопрос "актуальной бесконечности", как будто при данности целого фактически даны все возможные части; также не может идти речь и об истинной бесконечности, которую исключает любое определение или обусловленность и которая, следовательно, не может подразумеваться при рассмотрении какой-либо конкретной вещи. Однако в данном случае, как и во всех случаях, когда представлена идея мнимого бесконечного, отличная от идеи истинного метафизического Бесконечного, но при этом и не являющаяся сама по себе чистейшим абсурдом, любые противоречия, а с ними и проблемы логического порядка, исчезают при замене так называемого бесконечного неопределённым и при признании того простого факта, что всякая континуальность, взятая в отношении к её элементам, заключает некоторую неопределённость. Именно по причине непонимания этого фундаментального различия между Бесконечным и неопределённым некоторые ошибочно посчитали невозможным избежать противоречия обусловленного бесконечного кроме как путём отрицания континуального вовсе и замены его дискретным; так, Ренувье, который справедливо отвергал математическое бесконечное, но которому идея метафизического Бесконечного была вовсе чуждой, считал, что логика его "финитизма" позволяла ему зайти столь далеко, чтобы принимать атомизм, и, таким образом, он стал жертвой концепции не менее противоречивой, чем та, которой он желал избежать, как мы уже видели ранее.