Глава 11. Царство количества и знамения времени

"Принцип континуальности".

Если существует континуум, мы можем вместе с Лейбницем сказать, что существует нечто континуальное в его природе или, иными словами, что должен существовать некий "принцип континуальности" (или "принцип непрерывности"), применимый ко всему, имеющему характер континуального; это достаточно очевидно, но из этого ни в коем случае не следует, что такой принцип должен быть применим ко всему абсолютно, как утверждает Лейбниц, ибо, если существует континуальное, то существует и дискретное, в том числе и в области количества¹; в самом деле, число в сущности дискретно, и именно дискретное, а не континуальное количество является действительно первым и основным модусом количества, это то, что можно назвать чистым количеством, как мы уже говорили². Вместе с тем, нельзя априори предполагать, что вне чистого количества повсеместно существует какого-либо рода континуальность, и, по правде говоря, было бы удивительным, если бы среди всех возможных явлений одно число обладало бы свойством быть существенно дискретным; но в наши намерения не входит определить пределы действия какого бы то ни было "принципа континуальности" или ограничения, которые должны применяться ко всем явлениям, выходящим за пределы области количества, понимаемой в самом общем смысле. Мы ограничимся одним весьма простым примером дискретности из области природных явлений: если, для того чтобы разорвать верёвку, следует приложить некоторое количество силы, и прилагается несколько меньшее количество силы, результатом будет не частичный разрыв, то есть разрыв некоторых частей нитей, из которых состоит верёвка, но только её растяжение, что существенно отличается от явления разрыва; если увеличивать силу непрерывным образом, растяжение также будет увеличиваться непрерывно, но наступит момент, когда произойдёт разрыв, и внезапно, как бы мгновенно будет иметь место результат, очевидно, иной природы, нежели предыдущий, явно заключающий в себе дискретность; и, таким образом, неверно говорить – в весьма общих словах и без каких-либо ограничений – что natura non facit saltus (природа не делает скачков).

1 Ср. Л. Кутюра, De l'infini mathématique, с. 140: "Вообще, принципу континуальности нет места в алгебре, и его нельзя применять для обоснования алгебраического обобщения идеи числа. Континуальность не только никоим образом не является необходимой для рассуждений общего арифметического порядка, но она противна самому духу этой науки и самой природе числа. В самом деле, число в сущности дискретно, как и почти все его арифметические свойства <…>. Поэтому нельзя навязывать континуальность алгебраическим функциям, какими бы сложными они ни были, поскольку целые числа, составляющие их элементы, являются дискретными, как бы "прыгающими" от одного значения к следующему без возможности какого-либо постепенного перехода".

2 См.: Царство количества и знамения времени, гл. 11.

Как бы то ни было, во всяком случае достаточно признать, что геометрические величины являются континуальными (каковы они на самом деле), чтобы брать в них элементы сколь угодно малые, то есть элементы, способные становиться меньше любой определимой величины; и, как говорил Лейбниц, "несомненно, именно в этом состоит строгая аргументация исчисления бесконечно малых", что относилось именно к упомянутым геометрическим величинам. Таким образом, именно так называемый "принцип континуальности" Лейбница, может служить fundamentum in re (основанием укоренённости в реальности) таких фикций, как бесконечно малые величины, и, вместе с тем, также и таких фикций, как мнимые корни (поскольку Лейбниц в этом отношении связывал эти два понятия), но всё-таки нет необходимости видеть в нём "критерий всей истины", как, похоже, считал Лейбниц. К тому же, если признавать некоторый "принцип континуальности", хотя и при некоторых ограничениях его действия, и даже если признавать, что этот принцип может служить для обоснования основ исчисления бесконечно малых modo sano sensu intelligantur (при постижении разумным образом), это никоим образом не означает, что его следует понимать таким же образом, как Лейбниц, или что следует принимать все следствия, которые Лейбниц из него вывел; именно это понимание и эти следствия мы сейчас рассмотрим более подробно.

В самом общем виде этот принцип сводится в конечном счёте к следующему (что Лейбниц утверждал неоднократно в разных выражениях, но всегда в принципиально одинаковом смысле): если есть некоторый порядок в отношении "принципов" (понимаемых в данном случае в относительном смысле как нечто, взятое в качестве отправной точки), всегда должен существовать соответствующий порядок проистекающих из них следствий. Как мы уже указывали, это является только частным случаем так называемого "принципа справедливости" или принципа, постулирующего "всеобщую постижимость". Для Лейбница этот принцип, по существу дела, является следствием применения "принципа достаточного основания", если не самим этим принципом в той мере, в какой он применим, в частности, к комбинациям и варьированиям величин. По его словам, "континуальное – это нечто идеальное [что, вместе с тем, весьма далеко от достаточно ясной формулировки]; но реальное всё же управляется идеальным или абстрактным <…> ибо всё управляется разумом"³. Конечно, существует некоторый порядок всего, что не подлежит никакому сомнению, но этот порядок может рассматриваться совсем иным образом, нежели у Лейбница, представления которого в этом отношении всегда более или менее непосредственно находились под воздействием его так называемого "принципа наилучшего", который теряет всякий смысл, как только осознаётся метафизическое тождество реального с возможным⁴; более того, хотя Лейбниц был заклятым врагом ущербного картезианского рационализма, при рассмотрении его концепции "всеобщей постижимости" его можно упрекнуть за слишком поспешное смешение "постижимого" и "рационального"; но мы не будем задерживаться на этих соображениях общего порядка, которые могут увести нас далеко в сторону от нашего вопроса. В этой связи мы только добавим следующее: может показаться поразительным, что после утверждения, что "математический анализ не должен зависеть от противоречий метафизического характера", – что достаточно спорно, поскольку это равнозначно утверждению, что математика становится полностью незнакомой с её собственными принципами, в согласии с чисто профанической точкой зрения; кроме того, противоречия метафизического характера могут быть вызваны исключительно непониманием реалий метафизического порядка – после такого утверждения Лейбниц с целью обоснования своего "принципа причинности", с которым он связывал свой математический анализ, в итоге прибегает к аргументу хоть и не метафизическому, но определённо богословскому, который, в свою очередь, может привести к не меньшему числу противоречий. "Это по той причине, что всё управляется разумом, – пишет он, – и потому что в противном случае не было бы ни науки, ни законов, что не соответствует природе верховного принципа"⁵, на что можно ответить, что в реальности разум (или рассудок) является всего лишь чисто человеческой способностью индивидуального порядка и что, даже без рассмотрения "верховного принципа", разумность, рассматриваемая в её универсальном смысле, то есть как чистый и трансцендентный интеллект, представляет собой нечто абсолютно отличное от разума (или рассудка) и не может сопоставляться с ним никоим образом; таким образом, если верно, что нет ничего "иррационального", тем не менее существует множество вещей, которые являются "сверх-рациональными", но от этого не перестают быть "постижимыми".

3 Ранее цит. письмо Вариньону от 2 февраля 1702 года.

4 См.: Множественность состояний сущего, гл. 11.

5 Из того же письма Вариньону. – Первое изложение "принципа континуальности" появилось в Nouvelles de la République des Lettres в июле 1687 года, в таком же виде, как в нашем изложении, и под следующим пышным заголовком: Principium quoddam generale non in Mathematicis tantum sed et Physicis utile, cujus ope ex consideratione Sapientiae Divinae examinantur Naturae Leges, qua occasione nata cum R.P. Mallebranchio controversia explicatur, et quidam Cartesianorum errores notantur (Некоторый общий принцип, полезный не только для математики, но также и для физики, посредством коего исследуются законы природы в отношении к Божественной Премудрости и посредством коего разрешается спор, начатый Мальбраншем, и указуются ошибки картезианцев).

Теперь следует перейти к более точному определению "принципа континуальности", определению, которое имеет более непосредственное отношение к принципам исчисления бесконечно малых, чем предыдущее: "Если в отношении своих данных один случай непрерывным образом сближается с другим и в конечном счёте сливается с ним, то с необходимостью следует, что результаты (следствия) этих случаев в равной степени непрерывным образом сближаются с их искомыми решениями и они в конечном итоге обоюдно совпадают друг с другом"⁶. Здесь важно различать два момента: во-первых, если разница между двумя случаями уменьшается до такой степени, что становится меньше любой определимой величины in datis (в данных), то же самое происходит in quaesitis (в искомом); коротко говоря, это только частный случай известного более общего положения, и эта часть определения принципа континуальности не вызывает возражений, коль скоро признаётся, что существуют варьирования континуального и что исчисление бесконечно малых в сущности связано как раз с областью, в которой происходят такие варьирования, а именно с областью геометрии; но следует ли на основе этого признавать, что casus in casum tandem evanescat (один случай, в конечном счёте, сливается с другим) и что, следовательно, eventus casuum tandem in se invicem desinant (следствия обоих случаев в конечном итоге обоюдно совпадают друг с другом)? Иными словами, станет ли разница между двумя случаями когда-либо равной нулю, в результате её непрерывного и неопределённого убывания, или, если угодно, подойдёт ли их убывание, хотя и неопределённое, когда-либо к концу? Это, в принципе, равнозначно вопросу: может ли в рамках континуального варьирования быть достигнут предел; и в этом отношении мы, прежде всего, сделаем следующее замечание: поскольку неопределённое всегда включает, в некотором смысле, нечто неисчерпаемое, в той мере, в какой это подразумевается континуальным, и поскольку сам Лейбниц не допускал, что деление континуального может достичь конечного члена (и вообще что такие члены существуют) – является ли логичным и последовательным с его стороны в то же самое время утверждать, что континуальное варьирование, производимое per infinitos gradus intermedios (по бесконечным промежуточным шагам)⁷, может достичь своего предела? Это, конечно, не означает отрицание самой возможности достижения такого предела, что свело бы исчисление бесконечно малых просто к методу приближений; но если такой предел действительно достигается, это происходит не в рамках самого континуального варьирования и он достигается не в качестве конечного члена в неопределённой последовательности gradus mutationis (степеней изменения). Тем не менее именно этим "принципом континуальности" Лейбниц намеревается обосновать свой "переход к пределу", что, с точки зрения логики, представляет собой далеко не последнюю из проблем, возникающих в связи с его методом, и именно в этом месте его умозаключения становятся абсолютно неприемлемыми; однако для лучшего понимания этого аспекта вопроса следует начать с прояснения самого математического понятия предела.

6 Specimen Dynamicum pro admirandis Naturae Legibus circa corporum vires et mutuas actiones detegendis et ad suas causas revocandis (Оперативный алгоритм для изучения законов природы в отношении сил тел, исследования их взаимодействий и обнаружения их причин), часть II.

7 Письмо Шуленбергу от 29 марта 1698 года.