Континуальность и предельный переход

Теперь мы можем вернуться к рассмотрению "принципа континуальности" или, точнее говоря, к тому аспекту этого принципа, который на время оставили в стороне и который является как раз тем аспектом, на основании которого, по мнению Лейбница, может обосновываться "переход к пределу". В его понимании, из этого принципа следует следующее:

… при рассмотрении континуальных величин предельный разделительный случай может рассматриваться как неразделительный, и такой случай, хотя совершенно отличный по природе, таким образом, как бы содержится в скрытом состоянии в общей формуле для остальных случаев¹.

1 Epistola ad V.Cl. Christianum Wolfium, Professorem Matheseos Halensem, circa Scientiam Infiniti (Письмо Христиану Вольфу, профессору математики, о науке бесконечного), в: Acta Eruditorum, Лейпциг, 1713.

Хотя сам Лейбниц, похоже, этого не подозревал, именно в этом месте содержится принципиальная логическая ошибка его концепции континуальности, которую можно легко обнаружить в выводах, которые он делает из этой концепции. Несколько примеров:

В соответствии с моим принципом континуальности, можно считать покой бесконечно малым движением, то есть равнозначным некоторому виду своей противоположности, а совпадение можно считать бесконечно малой удалённостью, равенство последним из неравенств и т.д.².

[или ещё]: В соответствии с этим принципом континуальности, исключающим любые резкие изменения, случай покоя может рассматриваться как особый случай движения, а именно как обращающееся в нуль или минимальное движение; а случай равенства может рассматриваться как обращающееся в нуль неравенство. Из этого следует, что законы движения должны быть установлены таким образом, что не будет необходимости существования особых законов для тел, находящихся в равновесии или покое, но такие законы будут сами по себе частью законов для тел, находящихся в состоянии неравновесия и в движении*; или, если нет намерения разрабатывать отдельные законы для покоя и равновесия, следует признать, что они не являются таковыми, ибо противоположное будет противоречить упомянутой гипотезе, считающей покой зарождающимся движением, а равенство – последним из неравенств³.

2 Ранее цит. письмо Вариньону от 2 февраля 1702 года.

3 Ранее цит. Specimen Dynamicum.

* О тенденции науки модерна к устранению статики как раздела механики см. напр.: А.Т. Григорьян, В.П. Зубов. Очерки развития основных понятий механики. Москва, 1962. с. 11-15. (прим. перев.)

Добавим ещё одну цитату по этому вопросу, в которой обнаруживается ещё один пример, несколько отличающийся от предыдущих, но не менее спорный с точки зрения логики:

Хотя, в строгом смысле, неверно, что покой является видом движения, а равенство является видом неравенства, так же как неверно, что круг является видом правильного многоугольника, тем не менее можно сказать, что покой, равенство и круг являются предельными формами, соответственно, движения, неравенства и правильного многоугольника, которые посредством непрерывного варьирования достигают этих форм через обращение их ограничений в нуль. И, хотя такие предельные формы разделительны, то есть, в строгом смысле, не являются одной из ограничиваемых ими варьирующихся форм, они тем не менее имеют такие же свойства, как если бы они были одной из них, если выражаться на языке бесконечно малых, на котором, например, круг может называться правильным многоугольником с бесконечным числом сторон. В противном случае будет нарушен принцип континуальности – то есть это означает, что по той причине, что посредством непрерывного перехода можно перейти от многоугольников к кругу без какого-либо разрыва, подобным образом, нет разрыва и в переходе от свойств многоугольников к свойствам круга⁴.

4 Justification du Calcul des inifinitésimales par celui de l'Algèbre ordinaire, записка, приложенная к письму Вариньона Лейбницу от 23 мая 1702 года, в которой упоминается, что она была послана Лейбницем для включения в Journal de Trévoux. Лейбниц употребляет слово "непрерывный" [continual] в смысле "континуального" [continuous].

Следует отметить, что, как указано в начале последней цитаты, Лейбниц считал эти утверждения утверждениями того же рода, что и являющиеся toleranter verae (приемлемо истинными), которые, как он говорит в другом месте,

прежде всего, служат целям искусства изобретательства, хотя, по моему мнению, они содержат нечто фиктивное или мнимое, что, однако, может быть исправлено путём сведения их к обычным выражениям во избежание ошибок⁵.

5 Ранее цит. Epistola ad V.Cl. Christianum Wolfium.

Однако не являются ли вышеприведённые утверждения уже ошибочными и, вернее сказать, не содержат ли они очевиднейшие противоречия? Без сомнения, Лейбниц понимал, что предельный случай или ultimus casus является exclusivus (разделительным), что с очевидностью подразумевает его нахождение вне ряда случаев, естественным образом входящих в общую формулу; но тогда по какому праву разделительный случай, несмотря на это, может быть включён в эту формулу и рассматриваться ut inclusivum (как неразделительный), то есть как будто он является только одним из случаев, содержащихся в общем ряду? Верно, что круг является пределом правильного многоугольника с неопределённо возрастающим числом сторон, но определение круга принципиально иное, нежели определение многоугольника; и на таком примере можно достаточно ясно видеть, что существует качественная разница между собственно пределом и тем, в отношении чего он выступает как предел, как мы уже отмечали ранее. Покой никоим образом не является частным случаем движения, как и равенство не является частным случаем неравенства, схождение частным случаем удалённости, а параллельность частным случаем сходимости; кроме того, Лейбниц не считает их таковыми в строгом смысле, но всё же он утверждает, что они некоторым образом могут рассматриваться в качестве таковых, в результате чего "пределом некоторого рода может быть противоположный квази-вид" и нечто может быть "равнозначно некоторому противоположному себе виду"⁶. Вместе с тем, попутно заметим, что с тем же самым порядком идей у Лейбница, похоже, связано его понятие "виртуальности", поскольку он придаёт ему особый смысл потенциальности, рассматриваемой как зарождающаяся актуальность⁷, что опять-таки является не менее противоречивым, чем только что приведённые примеры.

6 Initia Rerum Mathematicarum Metaphysica (Метафизические принципы математики). Дословно Лейбниц пишет: " genus in quasi-speciem oppositam desinit* ", и употребление причудливого слова "квази-вид", очевидно, обнаруживает трудности в придании приемлемого вида подобной неудобоваримой конструкции.

* Проблема "incipit" и "desinit" (начала и окончания изменения), популярная в схоластике, имела античные истоки. Понимание "desinit" у Лейбница некорректно, т.к. в схоластике "desinit" (завершающая точка какого-либо изменения) традиционно считалась не принадлежащей совокупности ряда стадий изменения. (см.: В.П. Зубов, указ. соч., с. 154-155). (прим. перев.)

7 Слова "актуальность" и "потенциальность" употреблены здесь, конечно, в аристотелевском и схоластическом смысле.

Какую бы точку зрения ни занять, ни в малейшей степени не понятно, как некоторый вид может быть "граничным случаем" противоположного вида или рода, ибо противоположные сущности обоюдно ограничивают друг друга не таким образом, а, очевидно, наоборот – тем, что они исключают друг друга, и невозможно одному из двух противоречивых объектов быть сведённому к другому; например, может ли неравенство иметь некоторое значение помимо той степени, в которой оно противопоставлено равенству и является его отрицанием? Безусловно, нельзя согласиться, что подобные таким высказывания являются даже toleranter verae (приемлемо истинными), ибо, даже если не признавать существование абсолютно отдельных родов, всё же истинно то, что любой род, определяемый как таковой, никогда не может стать составной частью другого в равной степени определяемого рода, если определение последнего не включает в себя его собственное определение, даже если оно формально не исключает его (как в случае с противоположностями); и если между различными родами может быть установлена связь, то не посредством того, чем они фактически различаются, но только посредством высшего рода, включающего в себя их оба. Такая концепция континуальности, которая сводится к упразднению не только всякого разделения, но даже всякого фактического различия, позволяя прямой переход от одного рода к другому без сведения их к высшему или более общему роду, по сути представляет собой полное отрицание всяких подлинных логических принципов; и от неё остаётся всего один шаг (который уже весьма нетрудно сделать) до гегелевского утверждения "единства противоположностей".