Глава 14

"Обращающиеся в нуль величины".

Для Лейбница обоснование "предельного перехода" в конечном счёте состоит в том соображении, что особый случай "обращения величины в нуль" (по его выражению) должен быть в силу континуальности в некотором смысле включён в заданную общую формулу; вместе с тем, эти обращающиеся в нуль* величины нельзя рассматривать как "абсолютное ничто" или как чистый нуль, ибо в силу той же континуальности они сохраняют некоторое отношение между собой – и вообще неравны – и в тот момент, когда они обращаются в нуль, что подразумевает их прежний статус реальных величин, хотя и "неопределимых" по отношению к обычным величинам¹. Тем не менее если эти обращающиеся в нуль величины – или бесконечно малые величины, что то же самое – не представляют собой "абсолютное ничто", даже если речь идёт о дифференциалах выше первого порядка, их всё равно необходимо рассматривать как "относительное ничто", то есть полагать, что они, сохраняя характер реальных величин, могут и должны считаться ничтожными по отношению к обычным величинам, с которыми они "несравнимы"²; но, будучи умноженными на "бесконечные" величины или величины, несравнимо большие обычных, они снова дают обычные величины, что было бы невозможным, будь они абсолютно ничтожными. В свете изложенных ранее определений ясно, что рассмотрение отношений обращающихся в нуль, но по-прежнему находимых величин относится к дифференциальному исчислению, а рассмотрение умножения этих величин на "бесконечные" величины с результатом в виде обычных величин относится к интегральному исчислению. Трудность во всём этом состоит в том, чтобы признать, что величины, не являющиеся абсолютно ничтожными, всё же должны рассматриваться в вычислениях как таковые, что может создать впечатление, что это просто вопрос обычных приближений; к тому же в этой связи Лейбниц иногда, похоже, склонен привлекать свой "принцип континуальности", в котором "граничный случай" включён в общий ряд, как будто этого единственного постулата достаточно для обоснования его метода; тем не менее этот аргумент совершенно неясен, и скорее следует вернуться к вопросу "несравнимых", как это нередко делает сам Лейбниц, с целью оправдания устранения бесконечно малых величин из результатов вычислений.

* vanishing – обращающаяся в нуль, стремящаяся к нулю, близкая к нулю, "исчезающая" (величина) (прим. перев.)

1 Для Лейбница 0/0 = 1, поскольку, по его словам, "одно ничто представляет собой то же самое, что и другое"; но поскольку (0) (n) также равно 0 для любого значения n, очевидно, что можно также записать 0/0 = n, и поэтому выражение 0/0 вообще считается выражением так называемой "неопределённой формы".

2 Разница между этим примером и примером с песчинкой в том, что при рассмотрении "обращающихся в нуль величин" с необходимостью рассматриваются переменные величины, а не постоянные и находимые, какими бы малыми их не полагать.

В самом деле, Лейбниц считает равными не только те величины, разница которых равна нулю, но даже те, разница которых несравнима по отношению к самим величинам; это понятие "несравнимых", в его глазах, является основанием не только для устранения бесконечно малых величин, которые таким образом исчезают на фоне обычных величин, но также и для различения разных уровней бесконечно малых или дифференциальных величин, на каждом из которых величины данного уровня несравнимы с величинами предыдущего уровня, таким же образом, как и величины первого уровня с обычными величинами, при том что такие величины всё же никогда не превращаются в "абсолютное ничто". "Я называю две величины несравнимыми, – писал Лейбниц, – когда одна из них, несмотря на умножение её на любое конечное число, всё же не может быть больше другой, точно так же, как это излагал Евклид в пятом определении своей пятой книги"³. Однако, ничто здесь не указывает, следует ли это определение применять к постоянным и находимым или к переменным величинам; но следует признать, что в своей полной мере оно применимо без различия к обоим случаям; весь вопрос, в таком случае, заключается в том, могут ли в каком-либо случае две постоянные величины, какими бы различными они ни были в каком угодно масштабе, считаться поистине "несравнимыми" или они будут таковыми только относительно средств измерения, которыми располагает наблюдатель. Но мы не будем задерживаться на этом вопросе, поскольку сам Лейбниц в другой работе заявляет, что данные соображения не относятся к дифференциалам⁴, из чего необходимо заключить, что вышеупомянутое сравнение с песчинкой не только является явно неадекватным, но и что оно по существу дела не отвечает, даже в рамках мысли Лейбница, истинному понятию "несравнимых", по крайней мере, в приложении этого понятия к бесконечно малым величинам.

3 Письмо маркизу [Гийому Франсуа] Лопиталю, между 14 и 24 июня 1695 г.

4 Ранее цит. письмо Вариньону от 2 февраля 1702 года.

Тем не менее некоторые посчитали, что исчисление бесконечно малых может стать идеально строгим только при условии, что бесконечно малые будут считаться ничтожными, и в то же время такие учёные ошибочно полагали, что погрешность можно считать нулевой, если считать её сколь угодно малой; мы говорим "ошибочно", ибо это означало бы то же самое, что и возможность переменной, как таковой, достичь её предела. Вот что по этому поводу говорит Карно:

Некоторые полагают, что достаточным образом обосновали принципы исчисления бесконечно малых на следующих основаниях: очевидно, говорят они, и общепризнанно, что погрешности, возникающие при использовании исчисления бесконечно малых – при их наличии – всегда могут считаться сколь угодно малыми; также очевидно, что любая погрешность, полагаемая сколь угодно малой, может быть нулевой, ибо коль можно посчитать её сколь угодно малой, то можно посчитать её и нулевой; поэтому результаты исчисления бесконечно малых являются строго точными. Этот довод, на первый взгляд внушающий доверие, тем не менее не имеет ничего общего с логикой, ибо неверно утверждать, что по причине полагания погрешности сколь угодно малой её можно считать нулевой <…>. Предстаёт неизбежная альтернатива: либо совершения ошибки, какой бы малой она ни считалась, либо обращения к формуле, которая ничего не выражает, и именно в этом состоит суть проблемы исчисления бесконечно малых"⁵.

5 Réflexions sur la Métaphysique du Calcul infinitésimal, с. 36.

Несомненно, что любая формула, в которое отношение стоит в форме 0/0, "ничего не выражает", и можно даже сказать, что она не имеет смысла сама по себе; только в силу некоторой условности – вместе с тем, обоснованной – можно придать некоторый смысл выражению 0/0, рассматривая его как символ неопределимости⁶; но в таком случае сама эта неопределимость означает, что отношение в этом выражении может быть равно чему угодно, в то время как, напротив, оно должно иметь находимое значение в каждом конкретном случае; именно аргумент существования этого находимого значения выдвигает Лейбниц⁷, и сам по себе этот аргумент абсолютно неопровержим⁸. Однако, необходимо признать, что понятие "обращающихся в нуль величин" обладает "колоссальным недостатком в том отношении, что рассматривает величины в том состоянии, когда они, так сказать, перестают быть величинами", говоря словами Лагранжа; но, вопреки мысли Лейбница, нет необходимости рассматривать их именно в тот момент, когда они "обращаются в нуль" или "исчезают", и даже нет необходимости предполагать их способность действительного обращения в нуль. Вместе с тем, такое соображение в принципе предполагает, что, строго говоря, не существует "бесконечно малой" величины, ибо эта "бесконечно малая" величина – или, по крайней мере, то, что называлось так у Лейбница – могла бы быть только нулём, так же как "бесконечно большая" величина, взятая в том же смысле, может быть только "бесконечным числом"; но в реальности нуль не является числом, а "нулевые величины" существуют не в большей мере, чем "бесконечные величины". Математический нуль, в его точном и строгом значении представляет собой только отрицание, по крайней мере, в отношении его количественного аспекта, а утверждать, что отсутствие количества составляет некоторое количество, невозможно; мы ненадолго вернёмся к этому пункту позже, чтобы более ясно продемонстрировать проистекающие из него следствия.

6 См. предыд. прим.

7 С той разницей, что для него отношение 0/0 не является неопределимым, но всегда равно 1, как мы указывали ранее, хотя на самом деле его значение различно в каждом случае.

8 Ср.: Ш. Фрейсине, De l'Analyse infinitésimale, с. 45-46: "Если приращения будут сведены к чистому нулю, они более не будут иметь никакого смысла. Поэтому они должны быть не нулевыми, а неопределённо убывающими без того, чтобы когда-либо обращаться в нуль, в силу самого принципа, согласно которому переменная никогда не может совпасть со своим пределом".

Словом, выражение "обращающиеся в нуль величины" имеет прежде всего тот недостаток, что оно создаёт двусмысленность, ведущую к предположению, что бесконечно малые величины могут рассматриваться как величины, действительно превращающиеся в нуль, ибо, не меняя смысл употребляемых слов, трудно понять, каким образом в случае величин "обращаться в нуль" может иметь некий иной смысл кроме "обнуляться". В действительности эти бесконечно малые величины, если их понимать как неопределённо убывающие величины, что является их истинным смыслом, никогда не могут "обратиться в нуль" в собственном смысле слова. Очевидно, было бы намного лучше, если бы понятие "обращающиеся в нуль" вообще не вводилось, поскольку оно принципиально связано с концепцией континуальности Лейбница и, таким образом, неминуемо содержит тот же элемент противоречивости, который свойственен нелогичности этой концепции. Итак, если погрешность, хотя бы она могла быть сведена к сколь угодно малой, никогда не может стать нулевой, как же может исчисление бесконечно малых быть подлинно строгим, и если погрешность на самом деле незначительна только в практическом смысле, то не следовало бы заключить, что это исчисление таким образом сводится к простому методу приближений или, по выражению Карно, к "уравниванию погрешностей"? Этот вопрос мы разрешим по ходу дальнейшего изложения; но поскольку мы затронули нуль и так называемые "нулевые величины", следует сначала рассмотреть вопрос нуля, который, как мы имели возможность убедиться, является далеко не малозначительным.