Свойство 2

Свойство 1

Если ряды (1) и (2) сходятся, то и их суммы равны соответственно S и σ, то ряд (3) сходится, при этом его сумма равна .

Доказательство.

Пусть n-е частичные суммы соответственно рядов (1),(2),(3). Тогда . Поскольку и сходятся, то последовательность имеет конечный предел по свойству сходящихся последовательностей, то есть ряд (3) сходится и справедливо .

Свойство 2

Если сходится ряд (1), то сходится ряд . (2)

Данный ряд называют t -м остатком ряда (1). Верно и обратное: если при фиксированном t ряд (2) сходится, тогда и ряд (1)сходится.

Доказательство.

Пусть n -я частичная сумма ряда (1) и k -я частичная сумма ряда (2). Тогда , где . (*).

Если ряд (1) сходится, то , причем конечный, таким образом из равенства (*) следует, что при фиксированном t, существует конечный предел последовательности , при , то есть ряд (2) сходится.