Умножение матриц

1.15. Как должны быть согласованы размеры матриц-множителей, чтобы операция умножения была определена? Матрица какого размера при этом получается?

1.16. Сформулируйте определение произведения матриц.

1.17. Даны матрицы: и . Найдите следующие элементы матрицы : ; ; .

1.18. Выполните действия:

а) ; б) ;

в) .

1.19. Даны матрицы и . Найти произведения: и . Обладает ли операция умножения матриц свойством коммутативности? Как называют матрицы, для которых имеет место коммутативность умножения?

1.20. Найдите все матрицы, перестановочные с данной:

а) ; б) .

1.21. Выполните действие: .

1.22. Используя операцию умножения матриц, запишите систему уравнений в виде матричного равенства.

1.23. Пусть . Найдите произведения и е - единичная матрица соответствующего размера. Сделайте выводы.

1.24*. Докажите, что умножение матриц а) ассоциативно; б) дистрибутивно относительно сложения.

1.25. Какого размера должна быть матрица, чтобы ее можно было умножить саму на себя?

1.26. Как определяется натуральная степень квадратной матрицы?

1.27. Выполните действия:

а) ; б) , ; в) .

1.28*. Найдите все матрицы , квадраты которых равны нулевой матрице.

1.29*. Найдите все матрицы , квадраты которых равны единичной матрице.

1.30. Найдите значение многочлена от матрицы :

а) , ;

б) , .