double arrow

Разработка прогнозов методом наименьших квадратов


Сущность метода состоит в минимизации суммы квадратических отклонений между наблюдаемыми и расчетными величинами. Расчетные величины находятся по подобранному уравнению – уравнению регрессии.

Чем меньше расстояние между фактическими значениями и расчетными, тем более точен прогноз, построенный на основе уравнения регрессии. Теоретический анализ сущности изучаемого явления, изменение которого отображается временным рядом, служит основой для выбора кривой. Иногда принимаются во внимание соображения о характере роста уровней ряда. Так, если рост выпуска продукции ожидается в арифметической прогрессии, то сглаживание производится по прямой. Если же оказывается, что рост идет в геометрической прогрессии, то сглаживание надо производить по показательной функции.

Рабочая формула метода наименьших квадратов:

у t+1 = а×Х + b, (4)

где t + 1 – прогнозный период;

yt+1 – прогнозируемый показатель;

a и b - коэффициенты;

Х - условное обозначение времени.

 
 

Расчет коэффициентов a иbосуществляется по следующим формулам:

где, Уф – фактические значения ряда динамики;

 
 

n – число уровней временного ряда;





Сглаживание временных рядов методом наименьших квадратов служит для отражения закономерности развития изучаемого явления. В аналитическом выражении тренда время рассматривается как независимая переменная, а уровни ряда выступают как функция этой независимой переменной. Ясно, что развитие явления зависит не от того, сколько лет прошло с отправного момента, а от того, какие факторы влияли на его развитие, в каком направлении и с какой интенсивностью. Развитие явления во времени выступает как результат действия этих факторов.

Правильно установить тип кривой, тип аналитической зависимости от времени – одна из самых трудных задач предпрогнозного анализа.

Подбор вида функции, описывающей тренд, параметры которой определяются методом наименьших квадратов, производится в большинстве случаев эмпирически, путем построения ряда функций и сравнения их между собой по величине среднеквадратической ошибки, вычисляемой по формуле

S = , (7)

где yф – фактические значения ряда динамики;

yр – расчетные (сглаженные) значения ряда динамики;

n – число уровней временного ряда;

р – число параметров, определяемых в формулах, описывающих тренд.

Недостатки метода наименьших квадратов:

1) изучаемое экономическое явление мы пытаемся описать с помощью математического уравнения, поэтому прогноз будет точен для небольшого периода времени, и уравнение регрессии следует пересчитывать по мере поступления новой информации;

2) сложность подбора уравнения регрессии. Эта проблема разрешима при использовании типовых компьютерных программ.



Определим прогнозное значение валовой продукции растениеводства на 2010-2011 гг., используя метод наименьших квадратов

Для решения используем следующие табличные значения

Годы ВП растениеводства, тыс. руб. Уф Условное обо-значение времени Х     Уф*Х     Х^2     Ур Расчет средней относительной ошибки / Уф - Ур/ Уф * 100
19,6 101,0 171,5 348,6 493,2 610,7 701,3 875,4 19,6 202,0 514,5 1394,4 2466,0 3664,2 4909,1 7003,2 -20,6 103,9 228,4 352,9 477,4 601,9 726,4 850,9 2,05 2,87 33,17 1,23 3,20 1,44 3,58 2,8
Итого 3321,3 50,32
прогноз   975,4 1099,9          

Определим условное обозначение времени как последовательную нумерацию периодов базы прогноза. Рассчитаем графы 4 и 5.

Уропределим по формуле 4, а коэффициенты a и b по формулам 5 ,6.

20173 - (36 * 3321,3) / 8

a = 204 - 36^2 / 8 = 124,5

b = 3321,3/8 – 124,5*36/8 = - 145,1

У2002 = 124,5*1 – 145,1 = -20,6

У2003 = 124,5*2 – 145,1 = 103,9 и т.д.

Заносим полученные результаты в таблицу. Определяем прогнозное значение.

У 2010 = 124,5*9 – 145,1 = 975,4

У 2011 = 124,5*10 – 145,1 = 1099,9

Рассчитываем среднюю относительную ошибку (см. формулу 10)



ε = 50,32/8= 6,29%







Сейчас читают про: