Задача Д4

Вертикальный вал (рис. Д4.0 – Д4.9), вращающийся с постоянной угловой скоростью , закреплен подпятником в точке и цилиндрическим подшипником в точке, указанной в табл. Д4 в столбце 2 (). К валу жестко прикреплены тонкий однородный ломаный стержень массой , состоящий из частей 1 и 2 (размеры частей стержня показаны на рисунках, где , а их массы и пропорциональны длинам), и невесомый стержень длиной с точечной массой на конце; оба стержня лежат в одной плоскости. Точки крепления стержней указаны в таблице в столбцах 3 и 4, а углы , , , даны в столбцах 5 - 8.

Пренебрегая весом вала, определить реакции подпятника и подшипника. При подсчетах принять .

Таблица Д4

Номер условия	Подшипник в точке	Крепление в точке	град	град	град	град
ломаного стержня	невесомого стержня	рис. 0—4	рис. 5—9
	B	D	K
	K	B	D
	K	E	B
	D	K	B
	K	D	E
	E	B	K
	E	D	K
	K	B	E
	D	E	K
	E	K	D

Рис. Д4.0 Рис. Д4.1 Рис. Д4.2

Рис. Д4.3 Рис. Д4.4 Рис. Д4.5

Рис. Д4.6 Рис. Д4.7 Рис. Д4.8 Рис.4.9

Указания. Задача Д4 — на применение к изучению движения системы принципа Даламбера. При решении задачи учесть, что когда силы инерции частиц тела (в данной задаче стержня) имеют равнодействующую , то численно , где — ускорение центра масс тела, но линия действия силы в общем случае не проходит
через точку (см. пример Д4).

Пример Д4. Вертикальный вал длиной , закрепленный подпятником и подшипником (рис. Д4,а), вращается с постоянной угловой скоростью . К валу жестко прикреплен в точке ломаный однородный стержень массой и длиной , состоящий из двух частей 1 и 2, а в точке прикреплен невесомый стержень длиной с точечной массой на конце; оба стержня лежат в одной плоскости.

Дано: (, , , , , , , .

Определить: реакции подпятника A и подшипника D, пренебрегая весом вала.

Решение. 1.Изображаем (с учетом заданных углов) вал и прикрепленные к нему в точках В и Е стержни (рис. Д4,б ). Массы и веса частей 1 и 2 ломаного стержня пропорциональны длинам этих частей и соответственно равны ; ;

; ; . (1)

2. Для определения искомых реакций рассмотрим движение заданной механической системы и применим принцип Даламбера. Проведем вращающиеся вместе с валом координатные оси Aху так, чтобы стержни лежали в плоскости ху, и изобразим действующие на систему силы: активные силы — силы тяжести , , и реакции связей — составляющие реакции подпятника , и реакцию цилиндрического подшипника .

Рис. Д4

Согласно принципу Даламбера, присоединим к этим силам силы инерции элементов однородного ломаного стержня и груза, считая его материальной точкой.

Так как вал вращается равномерно, то элементы стержня имеют только нормальные ускорения ,направленные к оси вращения, а численно , где — расстояния элементов от оси вращения. Тогда силы инерции будут направлены от оси вращения, а численно , где — масса элемента. Так как все пропорциональны , то эпюры этих параллельных сил инерции стержня образуют для части 1 треугольник, а для части 2 — прямоугольник (рис. Д4,б).

Каждую из полученных систем параллельных сил инерции заменим ее равнодействующей, равной главному вектору этих сил. Так как модуль главного вектора сил инерции любого тела имеет значение ,где - масса тела, - ускорение его центра масс, то для частей стержня соответственно получим

(2)

Сила инерции точечной массы 3 должна быть направлена в сторону, противоположную ее ускорению и численно будет равна

(3)

Ускорения центров масс частей 1 и 2 стержня и груза 3 равны:

(4)

где , - расстояния центров масс частей стержня от оси вращения,
- соответствующее расстояние до груза:

(5)

Подставив в (2) и (3) значения (4) и учтя (5), получим числовые значения , и :

(6)

При этом линии действия равнодействующих и пройдут через центры тяжестей соответствующих эпюр сил инерции. Так, линия действия проходит на расстоянии от вершины треугольника Е, где .

Согласно принципу Даламбера, приложенные внешние силы (активные и реакции связей) и силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Составим для этой плоской системы сил три уравнения равновесия. Получим