Задача Д6

Механизм, расположенный в вертикальной плоскости (рис. Д6.0 — Д6.9), состоит из ступенчатых колес 1 и 2 с радиусами , , , , имеющих неподвижные оси вращения; однородного стержня 3 длиной , закрепленного шарниром на одном из концов; грузов 4 и 5, подвешенных к нитям, намотанным на колеса. На стержне расстояние .

Таблица Д6

Номер условия
			—		—		—	—
				—	—	—	—
			—	—		—		—
		—	—		—		—	—
	—		—	—		—		—
				—	—		—	—
		—			—	—	—
			—	—			—	—
			—		—	—		—
		—			—		—	—

Рис. Д6.0 Рис. Д6.1

Рис. Д6.2 Рис. Д6.3

Рис. Д6.4 Рис. Д6.5

Рис. Д6.6 Рис. Д6.7

Рис. Д6.8 Рис. Д6.9

Стержень 3 соединен с колесом 2 невесомым стержнем 6. Колеса 1 и 2 или находятся в зацеплении (рис. 0 - 4), или соединены невесомым стержнем 7 (рис. 5 - 9). К колесам и стержню 3 прикреплены пружины.

В табл. Д6 заданы массы тел (кг) и коэффициенты жесткости пружин (Н/м). Прочерки в столбцах таблицы означают, что соответствующие тела или пружины в систему не входят (на чертеже эти тела и пружины не изображать); в результате в каждом конкретном варианте получается довольно простой механизм, содержащий три или даже два тела. Стержень 6 или 7 входит всостав механизма, когда внего входят оба тела, соединенные этим стержнем.

В положениях, изображенных на рисунках, механизм находится в равновесии. Определить частоту и период малых колебаний системы около положения равновесия. Найти также, чему равно статическое удлинение (сжатие) пружины в положении равновесия.

При подсчетах считать колеса 1 и 2 сплошными однородными цилиндрами радиусов и соответственно.

Рассмотрим два примера решения этой задачи.

Пример Д6а. Находящаяся в равновесии механическая система состоит из колеса 1 радиуса , ступенчатого колеса 2 с радиусами и и груза 3, подвешенного на нити, намотанной на колесо 2; колеса соединены невесомым стержнем AВ (рис. Д6а). К колесу 1 прикреплена вертикальная пружина с коэффициентом жесткости с.

Дано: , , , , , .
Колеса считать сплошными однородными цилиндрами.

Определить: частоту и период малых колебаний системы около положения равновесия и значение .

Решение. 1. Система имеет одну степень свободы. Выберем в качестве обобщенной координаты угол поворота колеса 1 от равновесного положения (при равновесии и , ) при движении системы, рассматривая малые колебания, считаем угол малым.

Поскольку все действующие на систему активные силы потенциальные (сила тяжести и сила упругости), выразим обобщенную силу Q через потенциальную энергию П системы. Тогда исходным уравнением будет

(1)

Рис.Д6а

2. Определим кинетическую энергию системы, равную сумме энергий всех тел:

(2)

Так как колеса 1 и 2 вращаются вокруг осей , и , а груз 3 движется поступательно, то

(3)

где

(4)

Все скорости, входящие в равенства (3), надо выразить через обобщенную скорость . Тогда . Далее, ввиду малости угла можно считать в каждый момент времени , т. е. , откуда и . Отсюда, учтя, что , , получим

(5)

Подставляя величины (4), где и (5) в равенства (3), получим из равенства (2)

где (6)

Отсюда находим

(7)

3. Определим потенциальную энергию П системы, учитывая, что для пружины где — удлинение (сжатие) пружины, а для поля сил тяжести где — координата центра тяжести (ось z направлена по вертикали вверх).

Тогда для всей системы

(8)

Определяя , учтем, что в положении равновесия пружина может иметь некоторое статическое (начальное) удлинение или сжатие , необходимое для сохранения равновесия (в нашем случае для уравновешивания силы тяжести, действующей на груз 3). При повороте колеса 1 на угол пружина получит дополнительное к удлинение . Следовательно, .

Для , направляя ось z из точки О₃ вверх, получим . Чтобы выразить через , заметим, что зависимость между малыми перемещениями здесь будет такой же, как между соответствующими скоростями. Тогда по аналогии с последним из равенств (5) и .

Подставляя все найденные величины в равенство (8), получим

(9)

4. Определим обобщенную силу и . Сначала находим

(10)

Входящую сюда неизвестную величину найдем из условия, что при равновесии, т.е. когда , должно быть и . Полагая в (10) и , получим , откуда

(11)

Заменяя в (10) этим значением, найдем, что

(12)

5. Составляем уравнение Лагранжа. Подставляя значения производных из равенств (7) и значение из (12) в уравнение (1), получим или, с учетом обозначения в (6),

(13)

Из теории колебаний известно, что когда уравнение приведено к виду (13), то в нем является искомой круговой частотой, а период колебаний . При заданных числовых значениях , , и , произведя соответствующие подсчеты, получим из (13) и (11)

Ответы: , , .

Пример Д6б. Находящаяся в равновесии механическая система состоит из однородного стержня 1, ступенчатого колеса 2 с радиусами ступеней R₂ и r₂ груза 3, подвешенного на нити, перекинутой через блок 4 и намотанной на колесо 2, и невесомого стержня 5, соединяющего тела 1 и 2 (рис. Д6, б ). В точке шарнир; в точке А прикреплена горизонтальная пружина с коэффициентом жесткости с.

Рис.Д6,б

Дано: , , , , , , , , . Колесо 2 считать сплошным однородным цилиндром.

Определить: частоту и период малых колебаний системы около положения равновесия и значение .

Решение. 1. Рассмотрим произвольное положение системы, когда она выведена из состояния равновесия и совершает малые колебания (рис. Д6, в). Система имеет одну степень свободы. Выберем в качестве обобщенной координаты угол отклонения стержня от вертикали, считая малым, и составим для системы уравнение Лагранжа. Поскольку все действующие активные силы (сила упругости и силы тяжести) потенциальные, выразим обобщенную силу через потенциальную энергию П системы. Тогда исходным уравнением будет

(1)

Рис.Д6, в

При исследовании малых колебаний в уравнении сохраняют малые величины , в первой степени, отбрасывая малые более высокого порядка. Для этого надо найти выражения Т и П с точностью до и , так как в (1) входят первые производные от Т и П по и , а при дифференцировании многочлена его степень понижается на единицу

2. Определим кинетическую энергию Т системы, равную сумме энергий всех тел:

(2)

Так как стержень 1 и колесо 2 вращаются вокруг осей и соответственно, а груз 3 движется поступательно, то

(3)

где

(4)

Все скорости, входящие в равенства (3), надо выразить через обобщенную скорость . Тогда . Затем ввиду малости можно считать . Учтя это, найдем и .Таким образом, ;

(5)

Подставляя величины (4) и (5) в равенства (3), получим из (2)

(6)

Отсюда находим

(7)

3. Определим потенциальную энергию П системы, учитывая, что для пружины , где — удлинение (сжатие) пружины, а для поля сил тяжести , где — координата центра тяжести (ось z направлена по вертикали вверх). Тогда для всей системы

(8)

где величины , , , должны быть выражены через .

Определяя учтем, что в положении равновесия пружина может иметь некоторое статическое (начальное) удлинение или сжатие , необходимое для сохранения равновесия (в нашем случае для уравновешивания силы тяжести ). В произвольном положении (см. рис. Д6, в ) пружина получит дополнительное удлинение, равное , причем ввиду малости можно считать . Тогда

Для направляя ось из точки вверх, получим . Разлагая здесь в ряд и сохраняя член с , получим[2]

Для , взяв начало координат в точке получим .

Для совмещая начало координат с положением центра тяжести груза 3 при равновесии, получим , где — перемещение груза. Чтобы выразить через , заметим, что зависимость между малыми перемещениями здесь будет такой же, как между соответствующими скоростями. Тогда по аналогии с последним из равенств (5) и .

Подставляя все найденные величины в равенство (8), получим

(9)

4. Определим обобщенную силу и . Сначала находим

(10)

Входящую сюда неизвестную величину найдем из условия, что при равновесии, т.е. когда , должно быть и . Полагая в равенстве (10) и , получим , откуда

(11)

Заменяя в (10) этим значением, найдем окончательно

(12)

5. Составляем уравнение Лагранжа. Подставив значения производных из равенств (7) и значение из (12) в уравнение (1), получим или

(13)

Из теории колебаний известно, что когда уравнение приведено к виду (13), то в нем величина является искомой круговой частотой, а период . При заданных числовых значениях, произведя соответствующие расчеты, получим из (13) и (11) следующие ответы:

Другое решение. Рассмотрим другой путь решения задачи, пригодный и когда действующие силы не потенциальны.

Выберем опять в качестве обобщенной координаты угол , считая его малым, и составим для системы уравнение Лагранжа

(14)

Для кинетической энергии Т системы и для соответствующих производных получим, как и раньше, значения (6) и (7).

Чтобы найти обобщенную силу , надо изобразить на чертеже (рис. Д6, б) действующие активные силы, совершающие работу при перемещении системы, т.е. силу упругости пружины , приложенную к стержню 1 в точке А и направленную вправо (пружину считаем растянутой), силу тяжести , приложенную к стержню 1 в точке , и силу тяжести , приложенную к грузу 3; обе эти силы направлены по вертикали вниз (на рис. Д6, б силы , , не показаны, но при решении задачи таким путем их надо изображать).

Теперь сообщаем системе возможное перемещение, при котором угол получает положительное приращение , и вычисляем работу всех названных сил на этом перемещении. Получим

(15)

В равенстве (15) надо выразить через . По аналогии с последним из равенств (5) найдем, что

(16)

Определим еще значение силы упругости . По модулю , где — удлинение пружины, слагающееся из начального удлинения и дополнительного удлинения , которое ввиду малости угла можно считать равным . Тогда и

(17)

Подставив величины (16) и (17) в равенство (15) и учтя, что , а и что ввиду малости можно считать , приведем окончательно равенство (15) к виду

Коэффициент при в правой части полученного равенства и является искомой обобщенной силой. Следовательно,

(18)

Величину опять находим учитывая, что при равновесии, т.е. при будет и . В результате получим для значение, даваемое формулой (11). При таком найдем из (18) окончательно, что

(19)

Подставляя значения соответствующих производных из равенств (7) и значение , даваемое формулой (19), в уравнение (14), приведем его окончательно к виду

(20)

Решение уравнения (20) существенно зависит от знака коэффициента при . Если этот коэффициент положителен, т. е.

(21)

то, введя обозначение

(22)

получим, как известно, решение уравнения (20) в вид

(23)

Если при Но и всегда можно выбрать столь малыми, что угол во все время движения тоже будет оставаться малым и, следовательно, система будет совершать малые колебания около положения ее равновесия, определяемого углом Равновесие системы в таком случае называют устойчивым; условие устойчивости равновесия определяется в данной задаче неравенством (21).

Если же коэффициент при в уравнении (20) будет отрицательным, т.е. будет то введя обозначение приведем уравнение (20) к виду . Решением этого уравнения, как тоже известно, будет

и, каковы бы ни были начальные условия, множитель , а с ним и угол , будут со временем возрастать, т.е. система, выведенная из равновесного положения сколь угодно малым смещением (толчком), будет от этого положения все больше и больше отклоняться. Равновесие системы в таком случае называется неустойчивым.

В решаемой задаче с = 750 Н/м, а и неравенство (21) выполняется. Следовательно, равновесие системы является устойчивым и она может совершать около положения равновесия малые колебания. Круговая частота этих колебаний определяется из равенства (22), а период . Числовые значения искомых величин получаются, конечно, те же, что и в п. 5.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: Учебник для втузов. – 10 изд., пер. и доп. – М.: Высшая шк., 1986. – 416 с.

2. Теоретическая механика: Методические указания и контрольные задания для
студентов-заочников машиностроительных, строительных, транспортных, приборостроительных специальностей высших учебных заведений / Л.И. Котова, Р.И. Надеева, С.М. Тарг и др.; Под ред. С.М. Тарга// 4-е изд. М.: Высш. шк., 1989. -111 с.: ил.

3. Павловський М.А., Акинфиева Л.Ю., Бойчук О.Ф. Теоретическая механика. Статика. Кинематика. – К.: Вища шк. Головное изд-во, 1989. – 351 с.

4. Теоретическая механика. Динамика: Учебник/ М.А. Павловський, Л.Ю. Акинфиева, О.Ф. Бойчук; Под общ. ред. М.А. Павловского.– К.: Вища шк., 1990. – 480 с.

5. Добронравов В.В., Никитин Н.Н., Дворников А.Л. Курс теоретической механики. – М.:Высш.шк., 1974. – 528 с.

6. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике: Учебное пособие.- 36-е изд. – М.: Наука, 1986. – 448 с.

7. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учебн.пособие для техн. вузов/ Яблонский А.А., Норейко С.С., Вольфсон С.А. и др.; Под ред. А.А. Яблонского.- 4-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., 1985. - 367 с.