Задача Д1

Груз D массой m, получив в точке А начальную скорость движется в изогнутой трубе ABC, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рис. Д1.0 — Д1.9, табл. Д1).

На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила (ее направление показано на рисунках) и сила сопротивления среды , зависящая от скорости груза (направлена против движения); трением груза о трубу на участке АВ пренебречь.

В точке В груз, не изменяя своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действуют сила трения (коэффициент трения груза о трубу
f = 0,2) и переменная сила , проекция которой F_x на ось х задана в таблице.

Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ = l или время t₁ движения груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС, т.е. , где х = BD.

Рис. Д1.0 Рис. Д1.1

Рис. Д1.2 Рис. Д1.3

Рис. Д1.4 Рис. Д1.5

Рис. Д1.6 Рис. Д1.7

Рис. Д1.8 Рис. Д1.9

Таблица Д1

Номер условия	m, кг	, м/с	Q, H	R, H	l, м	t₁, с	F_x, H
				0,4	—	2,5
	2,4			0,8	1,5	—
	4,5			0,5	—
				0,6		—
	1,6			0,4	—
				0,5		—
	1,8			0,3	—
				0,8	2,5	—
				0,5	—
	4,8			0,2		—

Указания. Задача Д1 — на интегрирование дифференциальных уравнений движения точки (решение основной задачи динамики). Решение задачи разбивается на две части. Сначала нужно составить и проинтегрировать методом разделения переменных дифференциальное уравнение движения точки (груза) на участке АВ, учтя начальные условия. Затем, зная время движения груза на участке АВ или длину этого участка, определить скорость груза в точке В. Эта скорость будет начальной для движения груза на участке ВС. После этого нужно составить и проинтегрировать дифференциальное уравнение движения груза на участке ВС тоже с учетом начальных условий, ведя отсчет времени от момента, когда груз находится в точке В, и полагая в этот момент t = 0. При интегрировании уравнения движения на участке АВ в случае, когда задана длина l участка, целесообразно перейти к переменному х, учтя, что

Пример Д1. На вертикальном участке АВ трубы (рис. Д1) на груз D массой т действуют сила тяжести и сила сопротивления R; расстояние от точки А, где , до точки В равно . На наклонном участке ВС на груз действуют сила тяжести и переменная сила F = F (t), заданная в ньютонах.

Дано: m = 2 кг, , где = 0,4 кг/м, = 5 м/с, = 2,5 м, .

Определить: — закон движения груза на участке ВС.

Решение. 1. Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы и . Проводим ось Az и составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:

или . (1)

Рис.Д1

Далее находим , ; подчеркиваем, что в уравнении все переменные силы надо обязательно выразить через величины, от которых они зависят. Учтя еще, что получим

или . (2)

Введем для сокращения записей обозначения

, , (3)

где при подсчете принято . Тогда уравнение (2) можно представить в виде

. (4)

Разделяя в уравнении (4) переменные, а затем беря от обеих частей интегралы, получим

и . (5)

По начальным условиям при что дает и из равенства (5) находим или . Отсюда

и .

В результате находим

(6)

Полагая в равенстве (6) и заменяя k и n их значениями (3), определим скорость груза в точке В (, число е = 2,7):

м²/с² и . (7)

2. Рассмотрим теперь движение груза на участке ВС; найденная скорость будет для движения на этом участке начальной скоростью . Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы , , и . Проведем из точки В оси Вх и By и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось Вх:

или

(8)

где . Для определения N составим уравнение в проекции на ось By. Так как
a_y = 0, получим , откуда .

Следовательно, ; кроме того, и уравнение (8) примет вид

. (9)

Разделив обе части равенства на , вычислим ; и подставим эти значения в (9). Тогда получим

. (10)

Умножая обе части уравнения (10) на и интегрируя, найдем

. (11)

Будем теперь отсчитывать время от момента, когда груз находится в точке В, считая в этот момент . Тогда при , где дается равенством (7). Подставляя эти величины в (11), получим