Задача Д2

Механическая система состоит из прямоугольной вертикальной плиты 1 массой , движущейся вдоль горизонтальных направляющих, и груза D массой (рис. Д2.0 — Д2.9, табл. Д2). В момент времени , когда скорость плиты , груз под действием внутренних сил начинает двигаться по желобу плиты.

На рис. 0 - 3 желоб КЕ прямолинейный и при движении груза расстояние изменяется по закону , а на рис. 4 - 9 желоб — окружность радиуса и при движении груза угол изменяется по закону . В табл. Д2 эти зависимости даны отдельно для рис. 0 и 1, для рис. 2 и 3 и т. д., где выражено в метрах, — в радианах, — в секундах.

Считая груз материальной точкой и пренебрегая всеми сопротивлениями, определить зависимость , т.е.скорость плиты как функцию времени.

Таблица Д2

Номер условия
рис. 0, 1	рис. 2, 3	рис. 4, 5, 6	рис. 7, 8, 9

Рис. Д2.0 Рис. Д2.1

Рис. Д2.2 Рис. Д2.3 Рис.Д2.4

Рис. Д2.5 Рис. Д2.6 Рис.Д2.7

Рис. Д2.8 Рис. Д2.9

Указания. Задача Д2 на применение теоремы об изменении количества движения системы. При решении составить уравнение, выражающее теорему, в проекции на горизонтальную ось.

Пример Д2. В центре тяжести А тележки массой , движущейся по гладкой горизонтальной плоскости, укреплен невесомый стержень АD длиной l с грузом D массой на конце (рис. Д2). В момент времени , когда скорость тележки , стержень АD начинает вращаться вокруг оси А по закону .

Дано: , , , ,
( - в секундах).

Определить: — закон изменения скорости тележки.

Рис. Д2

Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из тележки и груза D, в произвольном положении. Изобразим действующие на систему внешние силы: силы
тяжести , и реакции плоскости , . Проведем координатные оси Оху так,чтобы ось х была горизонтальна.

Чтобы определить и, воспользуемся теоремой об изменении количества движения системы в проекции на ось х. Так как все действующие на систему внешние силы вертикальны (рис. Д2), то и теорема дает

, откуда . (1)

Для рассматриваемой механической системы , где и - количества движения тележки и груза D соответственно ( - скорость
тележки, - скорость груза по отношению к осям Оху). Тогда из равенства (1) следует, что

или (2)

Для определения рассмотрим движение груза D как сложное, считая его движение по отношению к тележке относительным (это движение, совершаемое при вращении стержня АD вокруг оси А), а движение самой тележки — переносным. Тогда и

. (3)

Но и, следовательно, . Вектор направлен перпендикулярно стержню и численно .

Изобразив этот вектор на рис. Д4 с учетом знака , найдем, что . Окончательно из равенства (3) получим

. (4)

(В данной задаче величину можно еще найти другим путем, определив абсциссу груза D, для которой, как видно из рис. Д4, получим ; тогда , где , а .)

При найденном значении равенство (2), если учесть, что , примет вид

. (5)

Постоянную интегрирования определим по начальным условиям: при и . Подстановка этих величин в уравнение (5) дает и тогда из (5) получим

.

Отсюда находим следующую зависимость скорости тележки от времени:

. (6)

Подставив сюда значения соответствующих величин, находим искомую зависимость от .

Ответ: .