Решение

1. Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Изобразим в произвольном положении груз и действующие на него силы: , , , . Проведем ось AZ и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекциях на эту ось:

или

или .

2. Введем обозначение:

, откуда при заданных известных значениях получим а=12 м/с при g=10 м/с².

3. Разделив в уравнении переменные и взяв интегралы от обеих частей равенства, получим:

.

4. При известных начальных условиях: t=0, v₀= 22 м/c получаем С₁= -ln(a-22). Тогда уравнение примет вид:

5. После преобразования получим:

или .

6. Из п. 5 находим:

Полагая, что t=3 c, и заменив а, μ, m известными численными значениями, определяем скорость груза в точке В: v_B= 18,1 м/c.

7. Рассмотрим движение груза на участке ВС. Найденная скорость v_B будет для движения груза на этом участке являться начальной скоростью (v₀ = v_B). Изобразим в произвольном положении груз и действующие на него силы: , , , .

8. Проведем из точки В оси BX и BY и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось BX:

,

где F_тр=fN.

9. Для определения N составим уравнение в проекции на ось BY. Так как в направлении BY нет движения, то , поэтому 0=N-mg, откуда N=mg. Следовательно, F_тр=fmg. Учитывая, что F=4sin(2t), уравнение примет вид:

Разделив обе части равенства на m, получим:

или

где 4/m=1,33; fg =2 м/c² при f=0,2.

10. Умножив обе части уравнения на dt и проинтегрировав его, найдем

.

11. При известных начальных условиях: t=0, v₀ = v_B = 18,1 м/c - получим С₂=18,1 + 1,33/2=18,8.

12. Уравнение при найденной С₂ примет вид:

.

13. Умножая обе части на dt и снова интегрируя, получим:

.

14. При t=0, x=0 С₃=0, тогда закон движения груза окончательно будет представлен выражением:

.

Ответ:

5.3. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы

Изменение кинетической энергии материальной системы на ее конечном перемещении равно сумме работ всех внешних и внутренних сил на этом перемещении:

,

где Т₀ – начальное значение кинетической энергии системы.

5.3.1. Формулы для подсчёта кинетической энергии твердого тела в различных видах его движения

1. Тело движется поступательно. Скорости всех точек твердого тела одинаковы и равны скорости центра масс тела, поэтому: , где М – масса твердого тела, кг; V_c – скорость центра масс тела, м/с.

2. Тело вращается вокруг неподвижной оси. ,

где J_z – момент инерции тела относительно оси вращения тела, кг·м²; – угловая скорость вращения тела, 1/c.

3. Тело совершает плоское движение. Плоское движение может быть рассмотрено как сумма поступательного движения тела со скоростью центра масс и вращательного движения тела вокруг оси Сz^', перпендикулярной присоединенной плоскости и проходящей через центр масс тела, поэтому:

,

где J_Сz^' – момент инерции тела относительно оси вращения Сz^', кг·м²; - угловая скорость вращения тела, 1/c; М – масса твердого тела, кг; V_c – скорость центра масс тела, м/с.

4. Тело вращается вокруг неподвижной точки: ,

где J_ω – момент инерции тела относительно мгновенной оси скоростей, кг·м².

Примечание: 1. Момент инерции цилиндра: 2. Момент инерции ступенчатого шкива: 3. Момент инерции блока, масса которого равномерно распределена по ободу:

5.3.2. Примеры вычисления работы сил

1. Сумма работ внутренних сил системы в общем случае отлична от нуля.

2. Если материальная система представляет собой абсолютно твердое тело, то сумма работ внутренних сил равна нулю.

3. Работа любой силы равна нулю, если сила приложена в неподвижной точке, скорость которой равна нулю в данный момент времени.

4. Работа внутренних сил натяжений гибких нерастяжимых тросов, канатов и т.п. равна нулю.

5. Работа силы тяжести равна произведению веса материальной системы на вертикальное перемещение центра масс, взятому со знаком «плюс», если центр масс опускается, и со знаком «минус», если центр масс поднимается: А=± Mgh_c, где М – масса материальной системы, кг; h_c – вертикальное перемещение центра масс, м; g – ускорение свободного падения, м/с².

6. Работа силы, приложенной к вращающемуся вокруг оси абсолютно твердому телу, равна: А=± M^П(φ-φ₀), где M^П - момент пары сил, приложенной к телу, Нм; φ-φ₀ – значение конечного угла поворота тела.

7. Работа силы трения: А= - F_тр·S, где S - перемещение, м. Работа силы трения всегда отрицательна.

8. Работа сил упругости пружины: А=0,5с∙(λ²₀ - λ²₁), где с - коэффициент жесткости пружины; λ - удлинение пружины, м. Работа положительна при λ₀> λ₁ и отрицательна при λ₀< λ₁.

5.3.3. Задание Д -2. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы

Дано. Механическая система состоит из катков 1 и 2 (или катка и подвижного блока), ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней R₃= 0,3 м, r₃ = 0,1 м и радиусом инерции относительно оси вращения ρ₃ = 0,2 м, блока 4 радиуса R₄= 0,2 м и грузов 5 и 6 (рис. Д 2.0 – Д 2.9, табл. Д-2); тела 1 и 2 считать сплошными однородными цилиндрами, а массу блока 4 – равномерно распределенной по ободу. Коэффициент трения грузов о плоскость f=0,1. Тела системы соединены друг с другом нитями, перекинутыми через блоки и намотанными на шкив 3 (или на шкив и каток); участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. К одному из тел прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с.

Под действием силы F=f(s), зависящей от перемещения s точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя; деформация пружины в момент начала движения равна нулю. При движении на шкив 3 действует постоянный момент М сил сопротивления (от трения в подшипниках).

Все катки катятся по плоскостям без скольжения.

Если по заданию массы грузов 5 и 6 или массы катков 1 (рис. Д 2.0-2.4) и 2 (рис. Д 2.5-2.9) равны нулю, то на чертеже их можно не изображать.

Определить: значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение s станет равным s₁= 0,2 м. Искомая величина указана в столбце «Найти» таблицы Д 2, где обозначено: ω₃ – угловая скорость тела 3; ε₄ – угловое ускорение тела 4; v₅ – скорость тела 5; а_с2- ускорение центра масс тела 2 и т.п.

Указания. При решении задачи учесть, что кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех входящих в систему тел; эту энергию следует выразить через ту скорость (линейную или угловую), которую в задаче надо определить. При вычислении энергии для установления зависимости между скоростями точек тела, движущегося плоскопараллельно, или между его угловой скоростью и скоростью центра масс воспользоваться мгновенным центром скоростей. При вычислении работы необходимо все перемещения выразить через заданное перемещение s₁, учитывая при этом, что зависимость между перемещениями здесь будет такой же, как между соответствующими скоростями.

5.3.4. Пример решения задания Д -2

Механическая система состоит из грузов 1 и 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней R₃ и r₃, радиусом инерции ρ₃ относительно оси вращения, блока 4 радиуса R₄ и подвижного блока 5 (коэффициент трения грузов о плоскость равен f).Тела системы соединены нитями, намотанными на шкив 3.

К центру блока 5 прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с; ее начальная деформация равна нулю.

Система приходит в движение из состояния покоя под действием силы F=f(s), зависящей от перемещения s точки ее приложения. На шкив 3 при движении действует постоянный момент М сил сопротивления.

Таблица Д-2

Номер условия	m1, кг	m2, кг	m 3, кг	m 4, кг	m 5, кг	m 6, кг	c, Н/м	М, Нм	F=f(s), H	Найти
								1,2	80(3+4s)	vc1
								0,6	20(6+5s)	a6
								1,8	60(4+s)	ω4
								0,3	40(3+8s)	ε3
								1,5	50(5+2s)	v6
								0,9	30(4+3s)	ac1
								2,4	60(2+5s)	v5
								0,3	80(1+4s)	ε4
								1,2	20(8+3s)	ω3
								0,6	40(3+2s)	ac2

Дано: m₁=0 кг, m₂=5 кг, m₃=6 кг, m₄=0 кг, m₅=4 кг, R₃=0,3 м, r₃= 0,1 м, ρ₃=0,2 м, f=0,1, с=240 Н/м, М=0,6 Нм, F=80(3+2S)H, s₁=0,2 м.

Определить: v_c5 в тот момент, когда s= s₁.