Глузкер А

С целью устранения недостатков и сохранения ценной сущности теории проф. Н.Г.Новикова попытаемся сначала установить закономерность изменения величины отношения высот волн изгиба нитей в ткани по мере перехода от рассматриваемой фазы к последующей на основе данных Табл.1.

Анализ различных вариантов изыскания математического отображения этого закона показал целесообразность использования основного метода аналитической геометрии – метода координат. В качестве значений аргумента по оси абсцисс принимаем X= N_F, а значения функции по оси ординат - Y = K_h^N = f (N_F). С помощью координат точек можно будет алгебраически решить поставленную геометрическую задачу: определить вид функции f (N_F) и форму кривой как множество точек, объединенных общим и характерным для них геометрическим свойством.

Предположим, что данная интерполирующая функция f(X) может быть представлена в виде многочлена n -ной степени по отношению к X (N_F), Яковлев, [7]:

Y = f (X) = a_o Xⁿ + a₁ X^n-1 + a² X^n-2 +…+a_n (1)

Такой многочлен графически изображается кривой n -го порядка параболического типа.

Чтобы найти искомую функцию, необходимо определить степень многочлена n и величину его коэффициентов a_i. Теоретически значения коэффициентов а_i можно найти из решения системы линейных уравнений, однако на практике эта процедура является сложной вычислительной задачей при неизвестной степени многочлена n. В нашем случае, ориентируясь на Табл.1, можно заметить, что значения аргумента X образуют арифметическую прогрессию с постоянным интервалом ∆N_F = 1. Это позволяет использовать случай равноотстоящих значений аргумента методом оперирования разностями функции f(X) различных порядков [7].

Для определения степени этого многочлена заполним диагоналевую таблицу разностей (Табл.2), где X_o=1; Y_o=0; h =1; n = 7; DY_o=Y₁-Y_o = 0,143; DY₁=Y₂-Y₁ = 0,190; D²Y_o= DY₁- D Y_o = 0,047; D³Y_o=D²Y₁-D²Yo = 0,030; и т.д.

Таблица 2

Таблица разностей DⁿY

X (NF)	Y (Kh)	Δy (∆Kh)	Δ2 y	Δ 3y	Δ4 y	Δ5 y	Δ6 y	Δ7 y
	0,143	0,143
	0,333	0,190	0,047
	0,600	0,267	0,077	0,030
	1,0	0,4	0,133	0,056	0,026
	1,666	0,666	0,266	0,133	0,077	0,051
	3,0	1,334	0,668	0,402	0,269	0,192	0,141
	7,0	4,0	2,666	1,998	1,596	1,327	1,135	0,994

Вычисляя последовательно разности всё более высокого порядка, к сожалению, мы не находим разности одинаковой величины, что указывало бы на окончание поиска степени многочлена. Поэтому пришлось заполнить всю таблицу для всех возможных порядков разностей DⁿY. В результате из Табл. 2 можно определить искомую степень нашего многочлена n = 7.

Для определения значений коэффициентов а_i нашей интерполирующей функции воспользуемся формулой Ньютона [7]:

Y= Y_o + (X - X_o) + (X - X_o)(X –X₁) + (X –X₀)(X – X₁)(X – X₂) +…

…+ (X -X_o)(X –X₁)(X – X₂)…(X – X_n-1) (2)

После подстановки численных значений рассматриваемых параметров из Табл.2 в формулу (2) находим искомый вид функции с конкретными значениями коэффициентов а_i. В итоге,применительно к нашим обозначениям получаем формулу для определения коэффициента отношения высот волн изгиба нитей в однослойной ткани по мере перехода от данной фазы к последующей в соответствии с теорией проф. Н.Г.Новикова:

К_h^N = 0,143(N_F -1) + 0,0235(N_F -1)(N_F-2) + 0,005(N_F -1)(N_F –2)(N_F -3) +

+ 0,00108(N_F -1)(N_F -2)(N_F -3)(N_F -4) + 0,000425 (N_F -1)(N_F -2)(N_F -3)(N_F -4)(N_F -5) + + 0,0001958(N_F -1)(N_F -2)(N_F -3)(N_F -4)(N_F -5)(N_F -6) +

+ 0,0001972(N_F -1)(N_F -2)(N_F -3)(N_F -4)(N_F -5)(N_F -6)(N_F -7) (3)

Анализ громоздкой формулы (3) показывает на существенную ограниченность её использования.

Геометрическая аппроксимация функции (3) представлена на Фиг.2 в виде пунктирной кривой линии K_h^N, которая в качестве образца позволяет провести изыскание более простого закона К_h = f (N_F).

ФИГ.2

1. ТАНГЕНЦИАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОРЯДКА ФАЗ СТРОЕНИЯ ОДНОСЛОЙНОЙ ТКАНИ 2D ПОЛОТНЯНОГО ПЕРЕПЛЕТЕНИЯ

Анализ различных видов функциональных зависимостей обнаружил очень близкий аналог геометрической интерпретации уравнения (3). Оказалось, что замечательную точку М (К_h = 1, N_F = 5), соответствующую средней (пятой) фазе строения ткани на кривой К_h^N = f(N_F), можно обнаружить и на кривой K_h^tg графика, апроксимирующего функцию тангенса. Известно, что тангенс 45⁰ также равен единице в точке M, соответствующей середине диапазона изменения аргумента N_F.