Сложные ставки ссудных процентов

Если после очередного начисления доход (т.е. начисленные за данный интервал проценты) не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала. Для определения наращенной суммы применяют формулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты в настоящее время являются весьма распространенным видом применяемых в различных финансовых операциях процентных ставок.

Пусть

i - относительная величина годовой ставки сложных ссудных процентов;

k - коэффициент наращения в случае сложных процентов;

j – номинальная ставка сложных ссудных процентов (ее определение будет дано в дальнейшем).

По прошествии n лет наращенная сумма составит

S = P (1 + i ) . (3.1)

Множитель наращения k соответственно будет равен

k = (1 + i ) . (3.2)

k = (1 + i ) (1 + n i ), (3.3)

где n = n + n ;

n - целое число лет;

n - оставшаяся дробная часть года.

На практике в данном случае часто предпочитают пользоваться формулой (3.1) с соответствующим нецелым показателем степени. Но нужно иметь в виду, что с точки зрения сущности начисления процентов этот способ является приблизительным, и погрешность при вычислениях будет тем больше, чем больше значения входящих в формулу величин. 

При N интервалах начисления наращенная сумма в конце всего периода начисления составит

S = Р (l + n i ). (3.4)

Если все интервалы начисления одинаковы (как и бывает обычно на практике) и ставка сложных процентов одна и та же, формула (3.4) принимает вид:

S = Р (1 + ni) . (3.5)

Начисление сложных процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов j - годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления.

При m равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке j эта величина считается равной j/m.

Если срок ссуды составляет n лет, то, аналогично формуле (3.1), получаем выражение для определения наращенной суммы:

 S = Р (1 + j/m) , (3.6)

где mn - общее число интервалов начисления за весь срок ссуды.

Если общее число интервалов начисления не является целым числом (mn - целое число интервалов начисления, l - часть интервала начисления), то выражение (3.6) принимает вид:

S = Р (1 + j/m) (1 + lj/m). (3.7)

В мировой практике часто применяется также непрерывное начисление сложных процентов (т. е. продолжительность интервала начисления стремится к нулю, а m - к бесконечности).

В этом случае для вычисления наращенной суммы служит следующее выражение:

S = Р (1 + j/m) . (3.8)

Для расчетов можно использовать известную в математике формулу:

(1 + ) = е,

где е = 2,71828...

Из этой формулы следует:

(1 + j/m) = e .

Тогда для наращенной суммы получаем

S = P e . (3.9)

Здесь

k = e . (3.10)

P = = S a. (3.11)

Формула (3.11), а также соответствующие формулы для случая простых ставок ссудного процента и для учетных ставок дают легко понять, что текущий финансовый эквивалент будущей денежной суммы тем ниже, чем отдаленнее срок ее получения и чем выше норма доходности.

Также из формулы (3.1) имеем

i = - 1. (3.12)

Из формулы (3.6):

j = m ( -1). (3.13)

Применяя операцию логарифмирования к обеим частям формулы (3.1), получаем

n = . (3.14)

Подобным же образом из формулы (3.6) получаем формулу:

n = (3.15)

Если нет специального калькулятора, значения логарифмов также находят по таблицам.

Существует несколько правил, позволяющих быстро рассчитать срок удвоения первоначальной суммы для конкретной процентной ставки.

Правило «72»:

n = .



Правило «69» (более точное):

n = + 0,35.

Здесь, однако, следует иметь в виду, что при выводе этих правил используются математические формулы, дающие верный результат не ДЛЯ любых значений входящих в них величин. Например, выражение 1/ x ≤ х (х > О) неверно при х < 1.

Данные правила дают весьма точный результат при небольших значениях i (%). До i (%) = 100(%) отклонения достаточно малы и ими можно пренебречь. При процентной ставке, равной, например, 120%, погрешность (для правила «69») составляет 5,2% (для правила «72» она будет больше) и растет с ростом i . При этом срок удвоения, полученный по правилу «69», будет больше, чем в действительности, а по правилу «72» - меньше.