Перші інтеграли системи диференціальних рівнянь геодезичної лінії

Рівняння геодезичної лінії є рішення системи диференціальних рівнянь (1.79). Розділимо перше рівняння цієї системи на друге

З третього рівняння отримаємо, тому

З рис.1.З матимемо

Крім того, врахуємо, що , тоді

Інтегруючи обидві частини цієї рівності, одержимо

або

Рішення системи диференціальних рівнянь, дозволене щодо довільних постійних, називається першим інтегралом. Для геодезичної лінії перші інтеграли були отримані французьким вченим Клеро в 1733 р Рівність (1.94) являє собою перше рівняння Клеро для геодезичної лінії. воно читається так: для геодезичної лінії на поверхні обертання твір радіуса паралелі на синус азимута в кожній точці є величина постійна.

Друге рівняння Клеро легко отримати з (1.94), поклавши в ньому r = а cosU, тоді

Очевидно, що кожна геодезична лінія має свої значення постійних с1 і с2.

Користуючись рівняннями Клеро, можна простежити хід геодезичної лінії на поверхні еліпсоїда. Нехай геодезична лінія виходить з точки, розташованої на екваторі, під азимутом А0 (рис.1.14). Застосовуючи цієї точки (1.94) і (1.95), отримаємо

Таким чином, заодно ми з'ясували геометричний зміст постійних Клеро.

Будемо рухатися по геодезичної лінії на північ. Згідно (1.94) радіус паралелі буде зменшуватися, а азимут --- збільшуватися поки не досягне величини А=90°. У цій точці радіус паралелі досягає найменшого значення. У подальших точках радіус паралелі почне збільшуватися, азимут перейде в другу чверть, тобто геодезична лінія поверне на південь, наближаючись до екватора, який вона перетне під азимутом, рівним 180°-А0.

При подальшому русі геодезична лінія вступить в південний півсфероїд і вся картина повториться. З півдня геодезична лінія перетне екватор під тим же азимутом А0, але початкова та кінцева точки в загальному випадку не співпадуть. Геодезична лінія подібно спіралі буде описувати нескінченні витки на поверхні еліпсоїда.