Іі. 5. Взаємні нормальні перетини

Рис.1.9. Взаємні нормальні перетини

Розглянемо на поверхні еліпсоїда дві точки А і В з широтами В1 і В2, причому для спільності приймемо, що Проведемо нормалі до поверхні в цих точках. Обидві ці нормалі лежать в площинах меридіанних еліпсів і перетинаються з віссю обертання в точках na, nb (рис. 1.9). Проведемо нормальну площину в точці А так,щоб вона пройшла через точку В. У перетині з поверхнею еліпсоїда ця площина дасть криву АаВ, яка називається прямим нормальним перетином в точці А на точку В. Провівши нормальну площину в точці В так, щоб вона пройшла через точку А, отримаємо прямий нормальний перетин у точці В на точку А (крива ВbА на рис 1.9). Ці дві криві АаB і ВbА називаються взаємно зворотними або просто взаємними нормальними перетинами. З рис. 1.9 видно, що взаємні нормальні перетини можуть співпасти тільки в тому випадку, якщо співпадуть точки na i nb, тобто якщо будуть рівні відрізки ona = onb.

Розглянемо це питання в загальному вигляді для довільної точки Q (puc.1.10).

Рис. 1.10. Точка перетину нормалі з віссю обертання еліпсоїда

З рис 1.10 маємо

Вираз для z згідно (1.43) запишеться

Підставляючи (1. 73) і (1. 74) в (1. 72), отримаємо

З формули (1.75) випливає висновок, що чим більше широта точки, тим нижче пройде її нормаль. За умовою , отже, і в загальному випадку криві АаB і ВbА не співпадуть (див. рис.1.9).

Отже, взаємні нормальні перетину для двох точок поверхні еліпсоїда не збігаються між собою за умови, що широти цих точок не рівні (виняток складуть точки, розташовані на одному меридіані).

Розглянемо прикладне значення цього геометричного факту. Уявімо собі, що на поверхні еліпсоїда виконуються кутові вимірювання в трьох вершинах деякого трикутника.

Теодоліти встановлюються так, щоб їх вертикальні осі збігалися з нормалями в даних точках. На пункті А виконувалися спостереження на пункти В і С(рис. 1.11), При наведенні на точку В візирна площина збігається з площиною прямого нормального перетину з А на В, а її перетин з площиною еліпсоїда дасть криву АаВ. При наведенні на точку С візирна площину перетне поверхню еліпсоїда по кривій ААС. Візирні площині при спостереженнях на пунктах В і С перетнуть поверхню еліпсоїда по взаємно зворотним перетинах ВbА i СсА, які, як було доведено, не співпадуть з прямими нормальними перетинами.

Звідси випливають важливі практичні висновки.

1. Вимірювані в геодезичних мережах горизонтальні кути на поверхні еліпсоїда є кутами між прямим і нормальні. ми перетинами в даній точці.

2. Розбіжність прямих і зворотних нормальних перетинів, або, як кажуть, подвійність взаємних нормальних перетинів, призводить до того, що виміряні горизонтальні кути на трьох пунктах не утворюють на поверхні еліпсоїда замкнутого трикутника. У ньому з'являється нев’язка геометричного походження. Тому вершини трикутників на еліпсоїді з'єднують геодезичними лініями.

Рис. 1.11. Схема вимірювання кутів сфероїдичного трикутника