Закон распределения функций случайных величин

Рассмотрим функцию одного случайного аргумента Y = (X). Если X - непрерывная случайная величина, то плотность вероятности g (y) величины Y определяется по формуле

, (3.1)

где f () - плотность вероятности величины X;

j (y) - обратные функции функции (x);

k - число обратных функций для данного y.

Весь диапазон значений Y необходимо разбить на интервалы, в которых число k обратных функций постоянно, и определить вид g (y) по формуле (3.1) для каждого интервала.

Если X - дискретная случайная величина, принимающая значения xi, то величина Y будет принимать дискретные значения yi = (xi) с вероятностями p (yi) = p (xi).

Рассмотрим функцию двух случайных аргументов Y = (X 1, X 2). Функция распределения G (y) величины Y определяется по формуле

, (3.2)

где f (x 1, x 2) - совместная плотность вероятности величин X 1и X 2.

В формуле (3.2) интегрирование производится по области D, которая определяется из условия (x 1, x 2) < y.

В случае, когда Y = X 1+ X 2, функция распределения

, (3.3)

а плотность вероятности

. (3.4)

Если величины X 1и X 2независимы, то

. (3.5)

Пример 3.1. Определить плотность вероятности величины Y = X 2, если X - случайная величина, равномерно распределенная на интервале (-1, 2).

Решение. В зависимости от числа k обратных функций выделим следующие интервалы для Y (рис. 3.1):

Рис. 3.1

(-, 0) k = 0,

[0, 1) k = 2,

[1, 4) k = 1,

[4, +) k = 0.

Так как на интервалах (-, 0) и [4, +) обратная функция не существует, то g (y)=0.

В интервале [0, 1) две обратных функции: 1(y) = + и 2(y) = - . По формуле (3.1) получим

В интервале [1, 4) одна обратная функция 1(y) = + , следовательно

.

Пример 3.2. Устройство состоит из двух блоков - основного и резервного. При отказе основного блока автоматически включается резервный блок. Определить вероятность безотказной работы устройства в течение 10 часов, если время безотказной работы блоков случайно и распределено по показательному закону, а среднее время наработки на отказ - 10 часов.

Решение. Определим закон распределения вероятностей времени Y безотказной работы устройства:

Y = X 1+ X 2,

где X 1, X 2 - время безотказной работы блоков.

Величины X 1и X 2независимы и имеют одинаковую плотность вероят­ностей:

.

Вычислим величину. Для показательного закона = 1/ mx = 0,1.

Определим плотность вероятности Y по формуле (3.5):

Вычислим вероятность того, что Y > 10:

ЗАДАЧИ

3.1. Определить плотность вероятности величины Y = ln X, если X - случайная величина, равномерно распределенная на интервале (1, 3).

Ответ:

3.2. Определить плотность вероятности величины Y = | X |, если X - случайная равномерно распределенная величина со следующими характерис­тиками mx = 1, Dx = 1.

Ответ:

3.3. Определить закон распределения вероятностей величины Y = sign(X 1+ X 2), если X 1и X 2- случайные величины, равномерно распределенные на интервалах (-1, 1) и (-1, 2) соответственно.

Ответ: P(Y = 1) = 2/3, P(Y = -1) = 1/3.

3.4. Случайная точка (X 1, X 2) равномерно распределена в квадрате с вершинами в точках (0, 0), (0, 1), (1, 1) и (1, 0). Определить плотность вероятности величины Y = X 1 X 2.

Ответ: g (y) = -ln y, 0 < y 1.