Неопределенный и определенный интегралы и их свойства. Применение определенного интеграла к решению прикладных задач

Значение темы:

В дифференциальном исчислении мы решали задачу нахождения производной или дифференциала заданной функции. В математике и её приложениях часто приходится решать обратную задачу: по заданной производной находить новую функцию, производная которой равна заданной функции.

На основе теоретических знаний и практических умений обучающийся должен:

знать:

- определение первообразной функции;

- определение неопределенного интеграла;

- свойства неопределенного интеграла;

- таблицу неопределенных интегралов;

- методы интегрирования;

- формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенных интегралов;

- методы вычисления определенных интегралов.

уметь:

- находить неопределенный интеграл различными методами;

- применять формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла.

Краткое содержание темы:

Интегралы некоторых элементарных функций.

	(α≠-1)

Свойства интегралов

Вопросы для самоподготовки:

1. Дайте понятие первообразной.

2. Формула вычисления неопределённого интеграла.

3. Формула Ньютона-Лейбница. Что она позволяет вычислять?

4. В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла.

5. Чему равны интегралы элементарных функций?

Тест для самоконтроля:

1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x-x², y=0

a) 5/3

b) 4/3

c) 20/3

d) 1

2.Процесс, обратный дифференцированию, называется...

3.Соответствие первообразных:

1)	a)
2)	b)
3)	c)
4)	d)
5)	e)
6)	f)

4. Соответствие первообразных:

1)	a)
2)	b)
3)	c)
4)	d)
5)	e)

8. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ смысл определенного интеграла состоит в нахождении...

a) скорости протекания химической реакции

b) площади криволинейной трапеции

c) экстремумов функции

d) приближенного вычисления

Ключ для самопроверки теста:

1) b

2) интегрирование

3) 1b, 2a, 3f, 4e, 5d, 6c

4) 1c, 2a, 3e, 4b, 5d

5) a

6) e

7) a

8) b

Литература

1. Омельченко В.П., Демидова А.А. Математика: Компьютерные технологии в медицине. – Ростов н/Д:Феникс, 2008. -588 с. Ил.-(Среднее профессиональное образование)

2. Подготовка к ЕГЭ по математике [электронный ресурс]: конспект по алгебре. URL: http://uztest.ru/abstracts/

Дифференциальные уравнения и их применение
в медицинской практике

Значение темы:

Дифференциальные уравнения используются при изучении явлений и процессов в физике, химии, биологии, фармации, астрофизике, кибернетике, социологии и других областях знаний. Сформулировав задачу на языке дифференциальных уравнений, специалист в любой области знаний получает в руки готовый аппарат для численного решения задачи, изучение качественных особенностей этого решения.

На основе теоретических знаний и практических умений обучающийся должен:

знать :

- таблицу неопределённых интегралов;

- методы интегрирования;

- определение дифференциального уравнения.

уметь :

- находить неопределённые интегралы

- составлять и решать дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Краткое содержание темы:

Опр.: Уравнения, в которых неизвестными являются не только сами функции, но и их производные называются дифференциальными уравнениями.
Опр.: Если в уравнение входит независимая переменная, неизвестная функция и её первая производная, то это уравнение называется дифференциальным уравнением I-го порядка.
Опр.: Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной неизвестной функции, входящей в это уравнение.
Опр.: Решением дифференциального уравнения называют любую функцию при подстановке, которой в это уравнение получается тождество.
Простейшим уравнением первого порядка является уравнение: У^’=f (x)

Решением этого уравнения будет: У=∫f(х)dx=F(x)+C – это общее решение.

Геометрически общее решение представляет собой семейство интегральных кривых, т.е. совокупность линий, соответствующих различным значениям постоянной С.

Опр.: График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой этого уравнения.

СОСТАВЛЕНИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Закон растворения лекарственных форм вещества из таблеток:

dm/dt= -κm, где k-постоянная скорости растворения. Минус в уравнении означает, что количество лекарственных форм вещества с течением времени убывает.

Закон размножения бактерий с течением времени: dx/dt=kx,

где k – коэффициент пропорциональности.

Закон роста клеток с течением времени: dl/dt = (α - β) l

где α, β – постоянные, характеризующие процессы синтеза и распада.

Закон разрушения клеток в звуковом поле: dN/dt = - RN,
где N – концентрация клеток; t –время; R - постоянная

Теория эпидемий: х+у=а+b (1)

а – число зараженных, b – число незараженных особей, x(t), y(t) – соответственно число зараженных и незараженных особей к моменту времени t.

При этих условиях нужно установить закон изменения числа незаражённых особей с течением времени, т.е. найти y=f(x). Для промежутка времени dt dy=-βxy, откуда dy/dt= - βxy, где β – коэффициент пропорциональности. Подставив в это уравнение значение х из равенства (1), получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: dy/dt= - βy (a+b-y)

Пример:

Задача: Определить во сколько раз увеличится количество бактерий за 9 часов, если в течение 3 часов их количество изменилось от 100 до 200.

Решение. Как уже было сказано выше, скорость размножения бактерий, если для них имеется достаточный запас пищи и созданы другие необходимые внешние условия (например, отсутствие подавления бактерий другими видами), пропорциональна их количеству.

Пусть х – количество бактерий в данный момент, тогда скорость изменения их количества равна производной dx/dt. Так как скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству, то существует k, что dx/dt=kx. Разделяем в дифференциальном уравнении переменные: dx/x=kdt. Интегрируя, получаем: ò dx/x= ò kdt. Решаем: lnx=kt+lnC,

что после потенцирования дает: x=Ce^kt

Для нахождения С используем начальное условие: при t=0, х=100. Имеем: Се=100, С=100, и, значит, х=100 e^kt. Коэффициент находим из условия: при t=3, х=200: 200=100 e^k³,

Искомая функция: x=100*2^t^/3. При t=9, х=800.

Ответ: количество бактерий за 9 часов увеличится в 8 раз.

Решите задачу:

Скорость растворения таблеток пропорциональна количеству лекарственного вещества в таблетке. За 30 минут растворилось 60% таблетки дигитоксина. Сколько растворится за 1 час?

Ответ: 84% таблетки дигитоксина.

Вопросы для самоподготовки:

1. Дайте определение дифференциального уравнения, дифференциального уравнения первого порядка.

2. Что называется порядком дифференциального уравнения?

3. Что называется решением дифференциального уравнения?

4. Что называется графиком решения дифференциального уравнения?

5. Какой вид имеют простейшие дифференциальные уравнения? Способ их решения.

6. Какой вид имеют дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными? Способ их решения.

7. Какой вид имеют линейные дифференциальные уравнения? Способ их решения.

8. Может ли дифференциальное уравнение y’=f(x) иметь конечное число решений?

9. Могут ли интегральные кривые дифференциального уравнения y’=f(x) пересекаться?

Литература: