Решение прикладных задач по разделу «Основы дифференциального и интегрального исчисления»

Значение темы:

Дифференциальное и интегральное исчисления широко используются в медицине для описания различных процессов протекающих как в отдельно взятом организме, так и в целой системе.

Производная может описывать скорость какого-либо стационарного процесса. С помощью интеграла можно вычислить площадь или объем той или иной области, а так же длину кривой. Дифференциальные уравнения помогают описать различные процессы в динамике.

На основе теоретических знаний и практических умений обучающийся должен:

знать:

- геометрический и физический смысл производных;

- приближенное вычисление функций с помощью дифференциала;

- вычисление площадей плоских фигур и длины дуги с помощью определенного интеграла;

- вычисление объемов тел;

уметь:

- решать прикладные задачи на применение производных и интегралов.

Краткое содержание темы:

Геометрический смысл производной

Значение производной функции y=f(x) в точке х=x₀ равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в точке х= x₀.

Уравнение касательной:

Физический смысл производной

Понятие производной возникло как математическое описание скорости движения, поэтому важнейшим приложением производной является вычисление скорости.

Если s=s(t) -закон прямолинейного движения,

то s’(t)=v скорость движения в момент времени t

s’’(t) =v'(t)=а – ускорение.

- Физический смысл производной состоит в нахождении скорости протекания процесса, описываемого зависимостью y=f(x).

Пример:

Температура тела задана законом y=x²+3x-1. Найти скорость изменения температуры в момент времени 2 c.

Решение:

Исходя из того s’(t)=v. Находим y'=2x+3. Далее находим скорость в момент времени 2 c. y(2)=2*2+3=7.

Приближенные вычисления с помощью производной

Пример: Выполнить приближенное вычисление:

Решение:

, х₀=8, х=8,12

Тогда ,

Вопросы для самоподготовки:

1. Дать понятие производной, первообразной

2. В чем состоит геометрический и физический смысл производной?

3. Геометрический смысл определенного интеграла.

4. Каково приложение производной к приближенному вычислению?

5. Каково приложение производной к исследованию функций?

6. Что следует понимать: 1) под средней скоростью повышения уровня воды за данный промежуток времени; 2) под скоростью повышения уровня воды в некоторый момент времени; 3) под средней скоростью охлаждения тела за данный промежуток времени; 4) под скоростью охлаждения тела в некоторый момент времени?

7. Функция возрастает на некотором интервале. Следует ли отсюда, что её производная положительна на этом интервале?

8. Производная функции в точке х₀ равна нулю. Следует ли отсюда, что х₀ – точка экстремума этой функции?

9. Пусть х₀-точка экстремума функции. Следует ли отсюда, что производная функции в этой точке равна нулю?

10. Может ли возрастающая функция иметь: 1) точки экстремума; 2) точки перегиба?

11. Сколько экстремумов может иметь периодическая функция?

12. Какое наибольшее число точек экстремума и точек перегиба может иметь многочлен 10-й степени?

Литература:

1. Омельченко В.П., Демидова А.А. Математика: Компьютерные технологии в медицине. – Ростов н/Д:Феникс, 2008. -588 с. Ил.-(Среднее профессиональное образование)

2. Подготовка к ЕГЭ по математике [электронный ресурс]: конспект по алгебре. URL: http://uztest.ru/abstracts/

Основные понятия дискретной математики.
Теории вероятности

Значение темы:

Теория вероятностей, начав свой путь с анализа ситуаций, возникающих в азартных играх, превратилась в науку, без помощи которой сейчас не обходится ни физика, ни астрономия, ни экономика, ни лингвистика, ни медицина.

Более того, в последнее время теория вероятностей стала основой развития многих новых научных направлений, таких как математическая статистика, медицинская статистика, теория информации, теория массового обслуживания.

На основе теоретических знаний и практических умений обучающийся должен:

знать:

- основные понятия комбинаторики: размещения, перестановки, сочетания и их формулы;

- понятие случайного события, частоты случайного события, достоверности, равносильности, противоположности события;

- закон больших чисел;

- определение вероятности события;

- основные теоремы и формулы теории вероятности;

- определение математического ожидания и дисперсии случайной величины.

уметь:

- находить число размещений, перестановки, сочетания.

- находить сумму (объединение), произведение (пересечение) событий, вероятность событий;

- применять основные теоремы и формулы при нахождении вероятности события, математического ожидания и дисперсии случайной величины.