Операции над множествами

Элементы теории множеств

Понятие множества

В математике встречаются самые разнообразные множества. Можно говорить о множестве граней многогранника, точек на прямой, множестве натуральных чисел и т.д. Понятие множества относится к числу первоначальных понятий, которые не определяются через другие, более простые. Вместо слова ''множество'' иногда говорят ''совокупность'', ''собрание'' предметов и т.д. Предметы, составляющие данное множество, называются элементами данного множества.

Теория множеств посвящена в основном изучению именно бесконечных множеств. Теория конечных множеств называется иногда комбинаторикой.

Но простейшие свойства множеств, те, о которых мы только и будем здесь говорить, в большинстве случаев в равной мере относятся как к конечным, так и к бесконечным множествам.

Заметим, что в математике допускается к рассмотрению множество, не содержащее элементов – пустое множество. Запись а Î Х означает, что а есть элемент множества Х.

Определение. Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является в то же время элементом множества А.

Каждый отдельный элемент множества А образует подмножество, состоящего из этого одного элемента. Кроме того, пустое множество является подмножеством всякого множества.

Подмножество множества А называется несобственным, если оно совпадает с множеством А.

Если множество В есть подмножество множества А, то говорим, что В содержится в А и обозначаем В Í А. Подмножество В множества А называется собственным подмножеством, если В не пусто и не совпадает с А (т.е. имеется элемент множества А, не содержащийся в В).

Операции над множествами

Пусть А и В – произвольные множества.

Определение. Объединением двух множеств А и В называется множество С = АÈВ, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В. (см. рис. 1).

Аналогично определяется объединение любого (конечного или бесконечного) числа множеств: если А _i – произвольные множества, то их объединение есть совокупность элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А _i.

Рис.1 Рис.2

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество С = АÇВ, состоящее из всех элементов, принадлежащих как А, так и В (см. рис. 2). Пересечением любого (конечного или бесконечного) числа множеств А _i называется множество элементов, принадлежащих каждому из множеств А _i.