Случайные величины и функции распределения случайных величин

Переменная величина называется случайной, если в результате опыта она может принимать действительные значения с определёнными вероятностями.

Случайная величина Х называется дискретной, если существует такая неотрицательная функция

которая ставит в соответствие значению х_i переменной Х вероятность р_i, с которой она принимает это значение. Дискретные случайные величины X и Y называются независимыми, если события Х = х_i и Y = y_j при произвольных i и j являются независимыми.

Случайная величина Х называется непрерывной, если для любых a < b существует такая неотрицательная функция f (x), что

Функция f (x) называется плотностью распределения непрерывной случайной величины.

Вероятность того, что случайная величина Х принимает значение меньшее х, называется функцией распределения случайной величины Х и обозначается F (x):

F (x) = Р (X x).

Общие свойства функции распределения:

Характеристики случайных величин

Математическое ожидание.Свойства математического ожидания.

Дисперсия. Свойства дисперсии.Среднее квадратичное отклонение.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х, принимающей конечное число значений х_i с вероятностями р_i, называется сумма:

М (Х) = х ₁ · р ₁ + х ₂ · р ₂ + х ₃ · р ₃ +... + х_n · р_n.

Свойства математического ожидания:

1) М (с · Х) = с · М (Х), c R,

2) М (Х + Y) = М (Х) + М (Y), Х, Y Е,

3) М (Х · Y) = М (Х) · М (Y) для независимых случайных величин Х и Y.

Дисперсией случайной величины Х называется число:

D (Х) = М { [ Х – М (Х)] ² }= М (Х ² ) – [ М (Х)] ².

Свойства дисперсии:

1) D (с · Х) = с ² · D (Х), c R,

2) D (Х + Y) = D (Х) + D (Y) для независимых случайных величин Х и Y.

Среднее квадратичное отклонение:

Нормальное (гауссово) распределение

Случайная величина Х имеет нормальное(гауссово) распределение, если её плотность распределения определяется зависимостью:

При m = 0, = 1 нормальное распределение называется стандартным.

График плотности нормального распределения представлен на рис.1.