Пусть - корень уравнения отделен на отрезке , причем и непрерывны и сохраняют определенные знаки на этом же отрезке . Найдя какое-нибудь n-е значение корня (), уточним его по методу Ньютона. Для этого положим , где - считаем малой величиной. Разложим функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x n по степеням h n. Тогда можно записать:
Ограничимся двумя членами ряда и так как , то:
.
Учитывая найденную поправку hn:,получим (n=0,1,2,…).
Рис.2.7 Метод касательных. Начальное приближение x0=b
По-другому этот метод называется методом касательных. Если в точке провести касательную к функции f(x), то ее пересечение с осью ОХ и будет новым приближением x1 корня уравнения
Хорошим начальным приближением является то значение, для которого выполнено неравенство . Погрешность вычислений Счет можно прекратить, когда
Теорема 2.2: Если , причем и отличны от нуля и сохраняют определенные знаки при , то, исходя из начального приближения , удовлетворяющего условию , можно вычислить методом Ньютона единственный корень уравнения с любой степенью точности.
Пример 2.5. Найти методом Ньютона корень уравнения x4-x-1 =0,
1-я производная |
2-я производная положительна |
один корень лежит на промежутке (-1.-0.5), второй на промежутке (1.1.5) Уточним левый корень методом Ньютона |
Нашли корень исходного уравнения -0.7245 с точность 0.00007.
Рис. 2.8. Вычисления в Mathcad, реализующие метод касательных для примера 2.5