Метод хорд

В этом методе нелинейная функция f(x) на отделенном промежутке

[ a,b ] заменяется хордой, проходящей через точки (a,f(a))и (b,f(b))

Рис.2.4. Метод хорд. Неподвижен правый конец промежутка b

Уравнение хорды: . Найдем точку пересечения хорды с горизонтальной осью. Полагая и , получим

Точку x₁ принимаем за новую границу отрезка, где содержится корень. Через эту точку с координатами (x₁,f(x₁)) и соответствующую границу предыдущего интервала (b,f(b)) опять проводим хорду, находим и т.д., получая последовательность x₁,x₂,x₃,…x_n,…, сходящуюся к корню уравнения.

Вторая производная сохраняет постоянный знак на . Следовательно, возможны два случая. Если f(b)·f "(b)>0, то хорда имеет правый фиксированный конец, причем последовательность x₀,x₁,…x_n приближается к корню слева. За начальное приближение x₀, естественно, берут a

; ; ;

Рис.2.5. Метод хорд. Неподвижен левый конец промежутка a

Если f(a)·f "(a)>0, то хорда имеет левый фиксированный конец, причем последовательность x₀,x₁,…x_n … приближается к корню справа. За начальное приближение x₀, берут b

; ; ;

Для оценки точности можно воспользоваться формулой

где -точный корень, - приближенный корень, , на промежутке [ a,b ]. Считаем до тех пор пока, не выполнится условие . Если имеет место неравенство , то счет можно прекратить, когда.

Пример 2.4. Найти методом хорд корень уравнения x⁴-x-1=0

Решение находим, используя пакет Mathcad.

Функция монотонна на промежутках (-∞, 0.63), (0.63, ∞) и меняет на концах промежутков знак. Уравнение имеет два корня. Сузим промежутки отделения корней методом проб, т.е. подстановкой.