Метод последовательных приближений

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка

с начальным условием . Решение этой задачи эквивалентно решению интегрального уравнения

Метод последовательных приближений состоит в том, что решение получают как предел последовательности функций , которые находятся по рекуррентной формуле

.

Доказано, если правая часть в некотором замкнутом прямоугольнике удовлетворяет условию Липшица по y:

,

то независимо от выбора начальной функции последовательные приближения сходятся на некотором отрезке к решению задачи Коши.

Если f(x,y) непрерывна в прямоугольнике R, то оценка погрешности дается неравенством

,

где , а число h определяется из условия

.

В качестве начального приближения можно взять любую функцию, достаточно близкую к точному решению.

Пример 9.3. Найти три последовательных приближения решения уравнения

y^'=x²+y² с начальным условием y (0)=0.

Учитывая начальное условие, заменяем уравнение интегральным

В качестве начального приближения возьмем y₀ (x)≡0

Первое приближение находим по формуле

Аналогично получим второе и третье приближения:

На практике количество приближений выбирают так, чтобы y_n и y_{n -1} приближения совпадали в пределах допустимой точности. Для n =3 и

y ₃ вычислено с точностью порядка 0.001.