Умножение, деление и вычисление функций от приближенных чисел

Если приближенное число надо умножить (разделить) на точное (удвоить, утроить и т.д.), то относительная погрешность произведения (частного) равна относительной погрешности приближенного множителя, поэтому в произведении оставляем столько цифр, сколько их в приближенном множителе. Например,

.

Абсолютная погрешность произведения увеличивается пропорционально точному сомножителю; абсолютная погрешность частного уменьшится пропорционально точному делителю.

Если оба сомножителя заданы приближенно, то число верных цифр произведения равно числу верных цифр наименее точного множителя. Если, например, в одном множителе 4 верные цифры, а в другом – только 2, то в произведении можно будет ручаться только за 2 цифры.

Например, найдем произведение чисел и . В действительности А и В могут быть произвольными числами, лежащими в таких промежутках

, .

Посмотрим, какой результат дадут граничные случаи. Для этого перемножим вначале наименьшие возможные значения А и В, а затем наибольшие и получим для произведения АВ:

нижнюю границу ;

верхнюю границу .

Сравнивая эти два произведения, видим, что после округления в них совпадают только первые три цифры, а остальные шесть найдены лишь для того, чтобы их отбросить.

Таким образом, если мы найдем произведение данных приближенных чисел

,

то в этом результате можно гарантировать надежность только первых трех цифр – ровно столько значащих цифр имеет наименее точное число В=0.0764. В отдельных неблагоприятных случаях даже и последняя из гарантированных цифр может быть сомнительной.

Пример. Найдем произведение приближенных чисел

и .

Решение: .

Действительно, нижними и верхними границами здесь будут произведения

;

,

поэтому последняя цифра произведения сомнительна и может иметь погрешность, составляющую 5 единиц последнего разряда.

Подчеркнем также, что при умножении и делении приближенных чисел положение запятой у компонентов совершенно не влияет на точность результата.

Пример

(нули незначащие)

(справа ноль значащий)

Возведение в степень приближенного числа всегда можно рассматривать как n-кратное умножение этого числа самого на себя, поэтому при возведении в степени относительная погрешность увеличивается пропорционально показателю степени. То есть при возведении в квадрат относительная погрешность удваивается, при возведении в куб – утраивается, и т.д. При извлечении корня всегда получаем не меньшее количество значащих цифр, чем то, которое имеется в подкоренном выражении:

, причем все цифры результата верны, поскольку

Чтобы уменьшить накопление ошибок округления при вычислениях, на всех промежуточных этапах следует сохранять не только верные, но и несколько сомнительных знаков. Иными словами, выделять из полученного числа верные знаки следует только в итоге всех вычислений.