2015-10-22
454
Цель работы: изучить алгоритмы нахождения значений интегралов.
Краткие теоретические сведения
Формулы для вычисления интеграла 
получают следующим образом. Область интегрирования [ a, b ] разбивают на малые отрезки, тогда значение интеграла по всей области равно сумме интегралов на этих отрезках.
Выбирают на каждом отрезке [ xi, xi+ 1] 1–5 узлов и строят интерполяционный многочлен соответствующего порядка. Вычисляют интеграл от этого многочлена, и в результате получают формулу численного интегрирования через значения подынтегральной функции в выбранной системе точек. Такие выражения называют квадратурными формулами.
Рассмотрим наиболее часто используемые квадратурные формулы для равных отрезков длиной h = (b - a)/ m; xi = a + (i - 1)× h; i = 1, 2, …, m; где m – количество разбиений отрезка интегрирования.
Формула средних
Формула средних получается, если на каждом i -м отрезке взять один центральный узел xi +1/2 = (xi + xi +1)/2, соответствующий середине отрезка. Функция на каждом отрезке аппроксимируется многочленом нулевой степени (константой) P 0(x) = yi +1/2 = f (xi +1/2). Заменяя площадь криволинейной фигуры площадью прямоугольника высотой yi +1/2 и основанием h, получим формулу средних (рис. 9.1):
. (9.1)
Рис. 9.1
Формула трапеций
Формула трапеций получается при аппроксимации функции f (x)на каждом отрезке [ xi, xi +1]интерполяционным многочленом первого порядка, т.е. прямой, проходящей через точки 
, 
. Площадь криволинейной фигуры заменяется площадью трапеции с основаниями 
и высотой h (рис.9.2):
Рис. 9.2
. (9.2)
Формула Симпсона
Формула Симпсона получается при аппроксимации функции f (x)на каждом отрезке [ xi, xi +1]интерполяционным многочленом второго порядка (параболой) c узлами xi, xi +1/2, xi +1. После интегрирования параболы получаем (рис.9.3)
Рис. 9.3
. (9.3)
После приведения подобных членов получаем более удобный для программирования вид:
.
