2015-10-22
853
Метод 1. Одним из вариантов вычисления интеграла с заданной точностью является следующий.
Задают первоначальное число интервалов разбиения m и вычисляют приближенное значение интеграла S1 выбранным методом.
2. Число интервалов удваивают m = 2m.
Вычисляют значение интеграла S2.
4. Если |S1 – S2| ³ e (e – заданная погрешность), то S1 = S2, расчет повторяют – переход к пункту 2.
5. Если |S1 – S2| < e, т.е. заданная точность достигнута, выполняют вывод результатов: S2 – найденное значение интеграла с заданной точностью e, m – количество интервалов.
Метод 2. Анализ формул (9.1), (9.2) и (9.3) показывает, что точное значение интеграла находится между значениями ФСР и ФТР, при этом имеет место соотношение
ФСИ = (ФТР - 2×ФСР)/3.
Это соотношение часто используется для контроля погрешности вычислений. Расчет начинается с m = 2 и производится по двум методам, в результате получают ФСР, ФТР. Если |ФСР – ФТР| ³ e, увеличивают m = 2m и расчет повторяют.
Формулы Гаусса
При построении предыдущих формул в качестве узлов интерполяционного многочлена выбирались середины и (или) концы интервала разбиения. При этом оказывается, что увеличение количества узлов не всегда приводит к уменьшению погрешности, т.е. за счет удачного расположения узлов можно значительно увеличить точность.
Суть методов Гаусса порядка n состоит в таком расположении n узлов интерполяционного многочлена на отрезке [ xi, xi +1], при котором достигается минимум погрешности квадратурной формулы. Анализ показывает, что узлами, удовлетворяющими такому условию, являются нули ортогональнoго многочлена Лежандра степени n (см. подразд. 8.1).
Для n = 1 один узел должен быть выбран в центре отрезка, следовательно, метод средних является методом Гаусса 1-го порядка.
Для n = 2 узлы должны быть выбраны следующим образом:
,
и соответствующая формула Гаусса 2-го порядка имеет вид
.
Для n = 3 узлы выбираются следующим образом:
,
и соответствующая формула Гаусса 3-го порядка имеет вид
.
