Задача о поведении на границе раздела тангенциальных составляющих магнитного поля решается на основе второго уравнения Максвелла (закон полного тока) в интегральной формулировке:
Проведем через граничную поверхность плоскость
, проходящую через нормаль к
. Введем в исследуемой точке
три взаимно ортогональных вектора
,
и
. Векторы
,
по прежнему являются единичными векторами нормального и тангенциального направлений и лежат в плоскости
, а
образует с ней нормаль.
Выделим в окрестности точки малый прямоугольный контур, целиком лежащий в плоскости
таким образом, что две его стороны пересекают границу раздела, а две лежат по разные стороны от границы раздела. Обозначим длину сторон контура
и
. Зададим направление обхода контура по направлению орта
(против часовой стрелки, наблюдая с конца орта
).
Рисунок 58 − К выводу граничных условий для тангенциальных составляющих электрического поля
В обоих областях, разделяемых границей, протекают некоторые токи, которые могут включать как токи проводимости, так и токи смещения. Применим к контуру второе уравнение Максвелла, причем будем считать, что размеры контура достаточно малы для того, чтобы считать в поле в его пределах постоянным: . В результате получим
Здесь первые два члена получены вычислением циркуляции вектора по участкам контура
, так как направление обхода по ним противоположно, то и знак членов отличается.
− циркуляция вектора напряженности магнитного поля по боковым сторонам контура длиной
.
Далее снова нужно рассмотреть два случая.
Первый случай. Электродинамические параметры обеих граничащих сред являются величинами конечными, т.е., не равными бесконечности. Отсюда непосредственно следует конечное значение векторов плотности токов проводимости и смещения.
Теперь совершим предельный переход, устремляя высоту контура к нулю. В силу предположения о конечности векторов тока проводимости и смещения будем иметь
.
Кроме того, циркуляция вектора по боковым сторонам контура также будет равна нулю
. С учетом сказанного будем иметь:
,
или
.
Таким образом, при конечных значениях электродинамических параметров сред тангенциальные составляющие векторов напряженности магнитного поля непрерывны. Отсюда сразу следует, что тангенциальные составляющие векторов магнитной индукции терпят разрыв:
.
Рассмотрим теперь второй случай, считая, что проводимость одной из граничащих сред бесконечна.
Положим, например, что бесконечна проводимость второй среды . Подобное предположение делает неприменимой формулу
. Дело в том, то при бесконечно большой проводимости среды толщина скин-слоя (глубина проникновения электромагнитных волн) равна нулю на любой частоте. В результате токи проводимости протекают по поверхностной пленке нулевой толщины, и предельный переход даст отличный от нуля результат.
Для этого случая вводят понятие вектора плотности поверхностного тока . Принцип введения этого вектора показан на рисунке 59.
Рисунок 59 − Поверхностный ток
Прежде всего проведем единичный вектор, касательный к линиям тока в данной точке. Этот вектор обозначается как . Затем находится величина тока
, протекающего через отрезок
, перпендикулярный вектору
. Плотность поверхностного тока определяется как
.
Теперь закон полного тока для контура можно записать в виде
.
Далее следует учесть, что внутри идеального проводника все составляющие электромагнитного поля должны равняться нулю. Так как бесконечно проводящей принята вторая среда, то поэтому и получим
.
Это выражение является граничным условием для тангенциальной составляющей вектора напряженности магнитного поля на границе с идеальным металлом. Данная формула позволяет решить важную для практики задачу − найти плотность поверхностного тока по известному магнитному полю на границе идеального проводника. С учетом того, что
,
можно записать
.
Таким образом, поверхностный ток на границе раздела с идеальным металлом протекает в направлении, перпендикулярном вектору , и численно равен напряженности магнитного поля.