2015-10-22
1660
На практике приходится сталкиваться с такими задачами, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний, в результате каждого из которых может появиться или не появится событие 
. При этом интерес представляет исход не каждого отдельного испытания, а общее количество появлений события в результате определенного количества испытаний.
Испытания называют повторно независимыми, если испытания являются независимыми и вероятность появления события 
в каждом испытании постоянна.
Повторяющиеся испытания, удовлетворяющие условию независимости и постоянства вероятностей появления в каждом из них события , называют испытаниями Бернулли, или схемой Бернулли.
Пусть производится 
независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна 
. Требуется найти вероятность 
того, что при повторных испытаниях событие произойдет 
раз.
В зависимости от значений и 
задача предложенного типа решается по различным формулам.
· Если 
, то используют формулу Бернулли:
,
где 
– вероятность не наступления события в каждом испытании.
· Если 
и 
, то используют локальную теорему Лапласа:
,
где 
, 
.
Значения 
находят по таблице приложения А, Функция четная, т.е. 
, таблица содержит значения функции лишь для 
; при 
можно принять 
.
· Если и 
(либо 
), то используют формулу Пуассона:
,
где 
.
Функция протабулирована (приложение С)
Õ Пример. Вероятность появления события в каждом из 7 независимых испытаний постоянна и равна 
. Определить вероятность того, что событие наступит ровно 5 раз.
Решение. По условию 
; 
, 
, 
. Т.е. для решения задачи используют формулу Бернулли.
Искомая вероятность:
.n
Õ Пример. Процент всхожести семян 
. Определить вероятность того, что из 1000 посеянных семян взойдут 780,
Решение. Т.к. процент всхожести семян , то вероятность взойти для каждого семени постоянна и равна 
. Количество посеянных семян (общее количество испытаний) 
. Т.к. и , то используем локальную теорему Лапласа:
, где ;
; 
.
Откуда 
.
По таблице значений функции (приложение А), учитывая четность функции, найдем:
.
Искомая вероятность:
.n
Õ Пример. Вероятность того, что станок изготовит бракованное изделие постоянна и равна 
. Найти вероятность того, что из 400 произведенных станком изделий ровно 3 бракованных.
Решение. Вероятность изготовления бракованного изделия постоянна и равна 
. Общее количество изготовленных изделий (общее количество испытаний) 
. Т.к. и , то используем формулу Пуассона:
, где 
.
Среди изготовленных изделий ровно 3 бракованных: 
.
Искомая вероятность согласно приложения С равна
.n
Наивероятнейшим числом появления события в независимых испытаниях называют такое число 
, для которого вероятность, соответствующая этому числу, превышает или, по крайней мере, не меньше вероятности каждого из остальных возможных чисел появления события .
Для определения наивероятнейшего числа не обязательно вычислять вероятности возможных чисел появлений события, достаточно знать число испытаний и вероятность появления события в отдельном испытании.
Для определения наивероятнейшего числа используют двойное неравенство
Следует иметь в виду, что
1) если 
– целое число, то существуют два значения наивероятнейшего числа, а именно: 
и 
;
2) если – дробное число, то существует одно наивероятнейшее число, а именно: единственное целое, заключенное между дробными числами, полученными из неравенства;
3) если 
– целое число, то существует одно наивероятнейшее число, а именно: 
.
Õ Пример. Определить наивероятнейшее число качественных изделий в партии из 300 изделий, если вероятность качественного изделия равна 
.
Решение. По условию 
, 
; следовательно 
.
Используя неравенство:
имеем
;
откуда
.
Следовательно, наивероятнейшее число качественных изделий в партии из 300 изделий равно 
n
Предположим, что проводится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна . Требуется найти вероятность 
того, что при повторных испытаниях событие произойдет не менее 
раз и не более 
раз. Это можно сделать с помощью интегральной теоремы Лапласа:
,
где 
, 
; 
, Значения 
находят по таблице приложения В. Функция нечетная, т.е. 
, таблица содержит значения функции лишь для 
; для 
можно принять 
.
Õ Пример. Вероятность того, что деталь изготовлена с нарушениями стандартов равна 
. Найти вероятность того, что среди 800 случайно отобранных деталей нестандартных окажется от 140 до 200 деталей.
Решение. По условию 
, 
, 
, 
, следовательно 
.
Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
, где , ;
найдем
;
.
По таблице значений функции (приложение В), учитывая нечетность функции, найдем:
;
.
Искомая вероятность:
n
Случайные величины.
Задачи типа 421-430.
Под случайной понимается величина, которая в ряде повторных опытов может принимать различные значения и в каждом осуществлении опыта принимает одно и только одно значение, заранее неизвестно какое (зависящее от случайного исхода опыта).
