Испытания по схеме Бернулли

На практике приходится сталкиваться с такими задачами, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний, в результате каждого из которых может появиться или не появится событие . При этом интерес представляет исход не каждого отдельного испытания, а общее количество появлений события в результате определенного количества испытаний.

Испытания называют повторно независимыми, если испытания являются независимыми и вероятность появления события в каждом испытании постоянна.

Повторяющиеся испытания, удовлетворяющие условию независимости и постоянства вероятностей появления в каждом из них события , называют испытаниями Бернулли, или схемой Бернулли.

Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна . Требуется найти вероятность того, что при повторных испытаниях событие произойдет раз.

В зависимости от значений и задача предложенного типа решается по различным формулам.

· Если , то используют формулу Бернулли:

,

где – вероятность не наступления события в каждом испытании.

· Если и , то используют локальную теорему Лапласа:

,

где , .

Значения находят по таблице приложения А, Функция четная, т.е. , таблица содержит значения функции лишь для ; при можно принять .

· Если и (либо ), то используют формулу Пуассона:

,

где .

Функция протабулирована (приложение С)

Õ Пример. Вероятность появления события в каждом из 7 независимых испытаний постоянна и равна . Определить вероятность того, что событие наступит ровно 5 раз.

Решение. По условию ; , , . Т.е. для решения задачи используют формулу Бернулли.

Искомая вероятность:

.n

Õ Пример. Процент всхожести семян . Определить вероятность того, что из 1000 посеянных семян взойдут 780,

Решение. Т.к. процент всхожести семян , то вероятность взойти для каждого семени постоянна и равна . Количество посеянных семян (общее количество испытаний) . Т.к. и , то используем локальную теорему Лапласа:

, где ;

; .

Откуда .

По таблице значений функции (приложение А), учитывая четность функции, найдем:

.

Искомая вероятность:

.n

Õ Пример. Вероятность того, что станок изготовит бракованное изделие постоянна и равна . Найти вероятность того, что из 400 произведенных станком изделий ровно 3 бракованных.

Решение. Вероятность изготовления бракованного изделия постоянна и равна . Общее количество изготовленных изделий (общее количество испытаний) . Т.к. и , то используем формулу Пуассона:

, где .

Среди изготовленных изделий ровно 3 бракованных:

.

Искомая вероятность согласно приложения С равна

.n

Наивероятнейшим числом появления события в независимых испытаниях называют такое число , для которого вероятность, соответствующая этому числу, превышает или, по крайней мере, не меньше вероятности каждого из остальных возможных чисел появления события .

Для определения наивероятнейшего числа не обязательно вычислять вероятности возможных чисел появлений события, достаточно знать число испытаний и вероятность появления события в отдельном испытании.

Для определения наивероятнейшего числа используют двойное неравенство

Следует иметь в виду, что

1) если – целое число, то существуют два значения наивероятнейшего числа, а именно: и ;

2) если – дробное число, то существует одно наивероятнейшее число, а именно: единственное целое, заключенное между дробными числами, полученными из неравенства;

3) если – целое число, то существует одно наивероятнейшее число, а именно: .

Õ Пример. Определить наивероятнейшее число качественных изделий в партии из 300 изделий, если вероятность качественного изделия равна .

Решение. По условию , ; следовательно .

Используя неравенство:

имеем

;

откуда

.

Следовательно, наивероятнейшее число качественных изделий в партии из 300 изделий равно n

Предположим, что проводится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна . Требуется найти вероятность того, что при повторных испытаниях событие произойдет не менее раз и не более раз. Это можно сделать с помощью интегральной теоремы Лапласа:

,

где , ; , Значения находят по таблице приложения В. Функция нечетная, т.е. , таблица содержит значения функции лишь для ; для можно принять .

Õ Пример. Вероятность того, что деталь изготовлена с нарушениями стандартов равна . Найти вероятность того, что среди 800 случайно отобранных деталей нестандартных окажется от 140 до 200 деталей.

Решение. По условию , , , , следовательно .

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

, где , ;

найдем

;

.

По таблице значений функции (приложение В), учитывая нечетность функции, найдем:

;

.

Искомая вероятность:

n

Случайные величины.

Задачи типа 421-430.

Под случайной понимается величина, которая в ряде повторных опытов может принимать различные значения и в каждом осуществлении опыта принимает одно и только одно значение, заранее неизвестно какое (зависящее от случайного исхода опыта).


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



double arrow
Сейчас читают про: