На практике приходится сталкиваться с такими задачами, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний, в результате каждого из которых может появиться или не появится событие . При этом интерес представляет исход не каждого отдельного испытания, а общее количество появлений события в результате определенного количества испытаний.
Испытания называют повторно независимыми, если испытания являются независимыми и вероятность появления события в каждом испытании постоянна.
Повторяющиеся испытания, удовлетворяющие условию независимости и постоянства вероятностей появления в каждом из них события , называют испытаниями Бернулли, или схемой Бернулли.
Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна . Требуется найти вероятность того, что при повторных испытаниях событие произойдет раз.
В зависимости от значений и задача предложенного типа решается по различным формулам.
· Если , то используют формулу Бернулли:
|
|
,
где – вероятность не наступления события в каждом испытании.
· Если и , то используют локальную теорему Лапласа:
,
где , .
Значения находят по таблице приложения А, Функция четная, т.е. , таблица содержит значения функции лишь для ; при можно принять .
· Если и (либо ), то используют формулу Пуассона:
,
где .
Функция протабулирована (приложение С)
Õ Пример. Вероятность появления события в каждом из 7 независимых испытаний постоянна и равна . Определить вероятность того, что событие наступит ровно 5 раз.
Решение. По условию ; , , . Т.е. для решения задачи используют формулу Бернулли.
Искомая вероятность:
.n
Õ Пример. Процент всхожести семян . Определить вероятность того, что из 1000 посеянных семян взойдут 780,
Решение. Т.к. процент всхожести семян , то вероятность взойти для каждого семени постоянна и равна . Количество посеянных семян (общее количество испытаний) . Т.к. и , то используем локальную теорему Лапласа:
, где ;
; .
Откуда .
По таблице значений функции (приложение А), учитывая четность функции, найдем:
.
Искомая вероятность:
.n
Õ Пример. Вероятность того, что станок изготовит бракованное изделие постоянна и равна . Найти вероятность того, что из 400 произведенных станком изделий ровно 3 бракованных.
Решение. Вероятность изготовления бракованного изделия постоянна и равна . Общее количество изготовленных изделий (общее количество испытаний) . Т.к. и , то используем формулу Пуассона:
, где .
Среди изготовленных изделий ровно 3 бракованных:
.
Искомая вероятность согласно приложения С равна
|
|
.n
Наивероятнейшим числом появления события в независимых испытаниях называют такое число , для которого вероятность, соответствующая этому числу, превышает или, по крайней мере, не меньше вероятности каждого из остальных возможных чисел появления события .
Для определения наивероятнейшего числа не обязательно вычислять вероятности возможных чисел появлений события, достаточно знать число испытаний и вероятность появления события в отдельном испытании.
Для определения наивероятнейшего числа используют двойное неравенство
Следует иметь в виду, что
1) если – целое число, то существуют два значения наивероятнейшего числа, а именно: и ;
2) если – дробное число, то существует одно наивероятнейшее число, а именно: единственное целое, заключенное между дробными числами, полученными из неравенства;
3) если – целое число, то существует одно наивероятнейшее число, а именно: .
Õ Пример. Определить наивероятнейшее число качественных изделий в партии из 300 изделий, если вероятность качественного изделия равна .
Решение. По условию , ; следовательно .
Используя неравенство:
имеем
;
откуда
.
Следовательно, наивероятнейшее число качественных изделий в партии из 300 изделий равно n
Предположим, что проводится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна . Требуется найти вероятность того, что при повторных испытаниях событие произойдет не менее раз и не более раз. Это можно сделать с помощью интегральной теоремы Лапласа:
,
где , ; , Значения находят по таблице приложения В. Функция нечетная, т.е. , таблица содержит значения функции лишь для ; для можно принять .
Õ Пример. Вероятность того, что деталь изготовлена с нарушениями стандартов равна . Найти вероятность того, что среди 800 случайно отобранных деталей нестандартных окажется от 140 до 200 деталей.
Решение. По условию , , , , следовательно .
Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
, где , ;
найдем
;
.
По таблице значений функции (приложение В), учитывая нечетность функции, найдем:
;
.
Искомая вероятность:
n
Случайные величины.
Задачи типа 421-430.
Под случайной понимается величина, которая в ряде повторных опытов может принимать различные значения и в каждом осуществлении опыта принимает одно и только одно значение, заранее неизвестно какое (зависящее от случайного исхода опыта).