Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

.

Следствие 1: Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.

.

Следствие 2: Сумма вероятностей событий, образующих полную группу событий равна единице.

,

где – полная группа событий.

Следствие 3: Вероятность события, противоположного событию , равна разности между единицей и вероятностью события .

.

Теорема сложения вероятностей совместных событий.

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

.

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий (например, для трех совместных событий):

.

Õ Пример. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков, равна ; вероятность выбить 9 очков, равна . Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее 9 очков.

Решение. Обозначим – событие, состоящее в том, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее 9 очков. Событие произойдет, если стрелок выбьет или 10 очков (событие ), или 9 очков (событие ), т.е. – сумма событий и .

События и несовместные (попадание в 10, исключает попадание в 9 при одном выстреле, и наоборот), поэтому применима теорема сложения вероятностей несовместных событий:

.n

Õ Пример. В условиях предыдущего примера найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет меньше 9 очков.

Решение. Событие – при одном выстреле стрелок выбьет меньше 9 очков, является противоположным событию (при одном выстреле стрелок выбьет не менее 9 очков). Следовательно:

.n

Õ Пример. Игральную кость подбросили один раз. Найти вероятность следующего события: на верхней грани появится либо четное число, либо число, кратное трем.

Решение. Обозначим – событие, состоящее в том, что появится либо четное число, либо число кратное трем. Событие произойдет, если при бросании появится или четное число (событие ), или число кратное трем (событие ), т.е. – сумма событий и .

; (т.к. общих исходов , благоприятствующих исходов ).

; ( ).

События и совместные (при появлении «6» появится и четное число, и кратное трем). Поэтому применяем теорему сложения вероятностей совместных событий:

.n

Два события называют независимыми, если вероятность одного из них не зависит от появления или непоявления другого.

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы.

Несколько событий называют независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меняется при наступлении других событий.

Два события называют зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от наступления или ненаступления другого события.

Теорема умножения вероятностей независимых событий.

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

.

Следствие: Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.

.

Õ Пример. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка , для второго стрелка . Каждый стрелок произвел по одному выстрелу. Найти вероятности следующих событий:

1) оба стрелка попадут в цель;

2) оба стрелка промахнуться;

3) только один стрелок попадет в цель;

4) хотя бы один попадет в цель.

Решение. 1) Обозначим – событие, состоящее в том, что оба стрелка попадут в цель. Событие произойдет, если и первый стрелок попадет в цель, и второй попадет.

Используем теорему умножения вероятностей независимых событий:

.

2) Обозначим – событие, состоящее в том, что оба стрелка промахнуться. Событие произойдет, если и первый стрелок промахнется, и второй промахнется.

Вероятность промаха для первого стрелка .

Вероятность промаха для второго стрелка .

Искомая вероятность:

.

3) Обозначим – событие, состоящее в том, что только один стрелок попадет в цель. Событие произойдет, если первый стрелок попадет в цель и второй промахнется или первый стрелок промахнется в цель и второй попадет.

Искомая вероятность:

.

4) Событие – хотя бы один стрелок попадет в цель, является противоположным событию – оба промахнутся:

.n