Непрерывная случайная величина

Случайная величина называется непрерывной, если ее возможные значения заполняют некоторый интервал полностью.

Интегральной функцией распределения называют функцию , определяющую для каждого значения вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее , т.е.

.

Интегральная функция обладает следующими свойствами

Свойство 1. Значения интегральной функции принадлежат отрезку

.

Свойство 2. Интегральная функция есть неубывающая функция, т.е.

, если .

Дифференциальной функцией распределения вероятностей называют первую производную от интегральной функции:

.

Зная дифференциальную функцию, можно найти интегральную функцию по формуле:

.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат всей оси , определяется равенством

,

где –дифференциальная функция.

В частности, если все возможные знаения принадлежат интервалу , то

.

Дисперсия непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат , определяется равенством

,

или равносильным равенством

.

В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу , то

,

или .

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется так же, как и для дискретной величины:

.

Õ Пример. Случайная величина задана интегральной функцией

Найти дифференциальную функцию, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение .

Решение. Дифференциальную функцию найдем по формуле

Найдем математическое ожидание

.

Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой

.

Учитывая, что получим

.

Найдем искомое среднее квадратическое отклонение

n