Собственные вектора и собственные значения матрицы

Вектор-столбец

называется собственным вектором квадратной матрицы го порядка, соответствующим собственному значению если он удовлетворяет матричному уравнению

или

Здесь - единичная матрица - го порядка, а 0 – нулевой вектор-столбец. При условии, что вектор , получаем характеристическое уравнение для определения собственных значений

Координаты собственного вектора , соответствующего собственному значению , являются решением системы уравнений

Собственный вектор определяется с точностью до постоянного множителя.

Пример. Определить собственные значения и собственные векторы матрицы

Решение. Характеристическое уравнение для данной матрицы имеет вид:

или

откуда следует, что матрица имеет два собственных значения и Собственный вектор соответствующий определяется из системы уравнений вида

, или

которая сводится к одному уравнению Полагая получаем решение в виде Следовательно, первый собственный вектор есть

Второй собственный вектор соответствующий собственному значению определяется из системы уравнений вида:

Эта система уравнений также сводится к одному уравнению полагая запишем ее решение в виде Следовательно, второй собственный вектор есть

Таким образом, матрица имеет два собственных значения и два собственных вектора, равных (с точностью до постоянного множителя)