Свойства векторного произведения

Отметим следующие свойства векторного произведения:

а) ;

б) , т.е. модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах;

в) ;

г) , если либо = , либо = , либо вектора и коллинеарны;

д) , где λ –любое число;

е) .

Приведенные свойства позволяют решать многие задачи геометрии и векторного анализа.

Примеры.

а) Вычислим площадь параллелограмма, построенного на векторах

= (3, 6, -2) и = (-2, 3, 6).

Имеем

Тогда

б) Вычислим площадь треугольника с вершинами А (1, 1, 1), В (2, 3, 4), С (4, 3, 2).

На сторонах АВ и АС достроим треугольник до параллелограмма АВСD. Тогда Так как то

Следовательно, , а

в) Вычислим площадь параллелограмма, построенного на векторах

+ 3 и 3 + , если а угол между векторами и

равен p/6.

Заметим, что для любого вектора. Следовательно,

Итак, искомая площадь параллелограмма S =4.

г) Известно, что вектор ортогонален векторам = (3, 2, 1) и

= (2, 3, 1), а | | = 3. Найти вектор .

Так как вектор ортогонален векторам и, то он коллинеарен вектору . Имеем

Таким образом, Следовательно, , Итак, имеем два вектора, удовлетворяющих условиям задачи: