2015-10-22
1687
а) Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А (1, 2, 0) и В (2, 1, 1), перпендикулярно плоскости - х + у - 1 = 0.
б) Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям 2 х - у + 3 z - 1 = 0,
х + 2 у + z = 0.
в) Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостью 2 х -3 у +6 z =6 и координатными плоскостями.
г) Исследовать взаимное расположение данных пар плоскостей. В случае их параллельности найти расстояние между ними, в случае пересечения - угол между ними:
1) -х + 2 у - z + 1 = 0, у + 3 z - 1 = 0;
2) 2 х - у + z - 1 = 0, -4 х + 2 у - 2 z - 1 = 0.
Прямая и плоскость
Уравнение прямой в пространстве может быть записано как уравнение линии пересечения двух плоскостей в следующем виде:
. (9.10)
На практике больше применяется каноническое уравнение прямой в пространстве
(9.11)
где (х 1, у 1, z 1) - точка, через которую эта прямая проходит, а 
= (l, m, n) - вектор, параллельный прямой, - направляющий вектор.
Уравнение прямой, проходящей через две точки (х 1, у 1, z 1) и (х 2, у 2, z 2), имеет вид:
|
|
|
(9.12)
Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точки 
и 
Используя формулу (9.12), получаем
Равенство нулю знаменателя второй дроби означает, что прямая принадлежит плоскости 
Острый угол между двумя прямыми в канонической форме:
и 
определяется по формуле:
(9.13)
Условия параллельности прямых в канонической форме:
l 1/ l 2 = m 1/ m 2 = n 1/ n 2. (9.14)
Условие ортогональности прямых:
l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0. (9.15)
Примеры.
а) Привести уравнение прямой 
к каноническому виду.
Решение
Выразим из системы х через у и z:
Следовательно,
б) Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую
(х -2)/2 = (у- 1)/3 = (z - 3)/1.
Решение.
Запишем уравнение плоскости, проходящей через начало координат и ортогональной заданной прямой. Так как направляющий вектор заданной прямой = (2, 3, 1) в этом случае ортогонален плоскости, то можно положить 
= и записать уравнение плоскости в виде 2 х + 3 у + z = 0. Найдем точку пересечения этой плоскости и прямой для чего решим систему:
Из уравнения прямой, проходящей через две точки (9.12), получаем искомое уравнение прямой:
или x = y /(-2) = z/ 4.
в) Через прямую (х + 1)/2 = (у - 1)/(-1) = (z - 2)/3 проведем плоскость, параллельную прямой х/ (- 1) = (у + 2)/2 = (z - 3)/(-3).
Решение..
Так как вектора 
1 = (2, -1, 3) и 2 = (-1, 2, -3) (направляющие вектора прямых) параллельны плоскости, то их векторное произведение 1 
2 ортогонально плоскости, т.е. может быть взято за вектор нормали плоскости.
Итак,
3(-1, 1, 1).
Прямая (х + 1)/2 = (у - 1)/(-1) = (z - 2)/3 лежит в плоскости. Следовательно, и точка (-1, 1, 2), через которую она проходит, находится там же. Таким образом, искомое уравнение плоскости можно записать в виде
|
|
|
-(х + 1) + (у - 1) + (z -2) = 0 или х - у - z + 4 =0.
