Различные виды уравнения плоскости

1. Можно доказать утверждение, что если в пространстве задана прямоугольная система координат ОХУZ, то всякое уравнение первой степени с тремя неизвестными х,у,z необходимо и достаточно определяет относительно этой системы некоторую плоскость Р. Уравнение это называется общим уравнением плоскости и имеет следующий вид:

А х + В у + С z + D= 0 (17)

(сравните с общим уравнением (15) прямой на плоскости, которое следует из этого при z = 0) и определяет плоскость Р, перпендикулярную вектору (А,В,С).

Вектор - нормальный вектор плоскости Р.

Уравнению (17) эквивалентны следующие уравнения.

2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М(х₀, у₀, z₀):

А(х - х ₀) + В(у - у ₀) + С(z - z ₀) = 0.

3. Уравнение плоскости в отрезках

где ; ; .

4. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой, записывается в виде определителя

где (х ₁, y ₁, z ₁), (х ₂, y ₂, z ₂), (х ₃, y ₃, z ₃) - координаты заданных точек.

Угол между двумя плоскостями определяется как угол между их нормальными векторами n ₁и n ₂. Отсюда условие параллельности плоскостей

Р ₁ и Р ₂:

и условие перпендикулярности двух плоскостей:

А ₁ А ₂ + В ₁ В ₂ + С ₁ С ₂ = 0.

Пример 29. Через точку К (1, -3, 2) провести плоскость, параллельную векторам

а = (1, 2, -3) и b = (2,-1,-1).

Решение. Пусть М (х, у, z) – произвольная точка искомой плоскости. Вектор

КМ = (х - 1, у + 3, z - 2) лежит в этой плоскости, а векторы а и b ей параллельны. Следовательно, векторы КМ, а и b – компланарны. Тогда их смешанное произведение равно нулю:

Отсюда -(х –1) - (у + 3) – 5(z – 2) = 0 или х+ 7 у + 5 z + 10 = 0. Это и есть искомое уравнение плоскости.

Различные виды уравнения прямой в пространстве

Прямую линию в пространстве можно задавать в виде:

1) линии пересечения двух не совпадающих и не параллельных плоскостей Р ₁ и Р ₂:

;

2) уравнения прямой, проходящей через данную точку М (х ₀, у ₀, z ₀) в направлении, задаваемом вектором L = (m, n, p):

которое называется каноническим уравнением прямой в пространстве;

3) уравнения прямой, проходящей через две заданные точки М (х ₁, у ₁, z ₁)

и M (x ₂, y ₂, z ₂):

;

4) параметрических уравнений:

Пример 30. Привести к каноническому и параметрическому видам уравнение прямой

Решение. Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей. Нормальные векторы этих плоскостей n ₁= (3,1,-2) и n ₂= (4,-7,-1) перпендикулярны к искомой прямой, поэтому их векторное произведение [ n ₁, n ₂] = L параллельно ей и вектор [ n ₁, n ₂] (или любой ему коллинеарный) можно принять за направляющий вектор L искомой прямой.

Находим

[ n ₁, n ₂] = .

Примем за L = 3 i + j + 5 k. Остается найти какую-либо точку на заданной прямой. Положим для этого, например, z = 0. Получим

Решив эту систему, находим х = 1, у = - 2. Таким образом, точка К (1, -2, 0) принадлежит заданной прямой, а её каноническое уравнение имеет вид

Параметрические уравнения следуют из канонических, если за параметр t принять каждое из отношений:

; ; .

Откуда .

Пример 31. Через точку К (1, 3, -1) провести прямую, перпендикулярную

плоскости 3 х – у + 2 z – 10 = 0.

Решение. Вектор нормали к данной плоскости n = (3, -1, 2). Искомая прямая проходит через точку К и должна быть параллельна вектору n. Поэтому её уравнение можно записать в виде