Тема 5. Ряды динамики: – выявление и характеристика основной тенденции развития, скользящая средняя, аналитическое выравнивание, интерполяция, экстраполяция

Социально-экономические явления общественной жизни находятся в непрерывном развитии. Их изменение во времени статистика изучает при помощи построения и анализа рядов динамики. Ряд динамики – числовые значения статистического показателя, представленные во временной последовательности. Он состоит из двух граф: в первой – указываются периоды (или даты, во второй – показатели, характеризующие изучаемый объект за эти периоды (или на эти даты).

Показатели второй графы носят название уровней ряда: первый показатель называется начальным уровнем, последний – конечным, уровень любого периода (кроме первого) называется уровнем текущего периода.

Выявление общей тенденции изменения динамического ряда обеспечивается при помощи особых приемов. Наиболее простым способом является укрупнение интервалов и определение итога уровня для этих интервалов или исчисление средних для каждого укрупненного интервала, при этом используют либо переменную среднюю, либо скользящую среднюю.

Переменная средняя исчисляется по формуле простой средней арифметической.

Например, если укрупненный интервал образован объединением двух периодов. То средние для укрупненных интервалов определяются следующим образом: , , и т.д.

Скользящая средняя – подвижная динамическая средняя, которая исчисляется по ряду при последовательном передвижении на один интервал, т.е. сначала исчисляют средний уровень из определяемого числа первых по порядку уровней ряда, затем – средний уровень из такого же числа членов, начиная со второго. если в ряду динамики имеются периодические колебания, то период скользящей средней должен совпадать с периодом колебания или быть кратным ему. Если в ряду периодических колебаний нет, то период скользящей средней подбирают начиная с наименьшего, т.е. с двух уровней, если в этом случае тенденция не проявляется, то период укрупняют. Период скользящей может быть четным или нечетным, практически удобнее использовать нечетный период, т.к. в этом случае скользящая средняя будет оттеснена к середине периода скольжения.

Скользящие средние с продолжительностью периода, равной 3 следующие:

; ; ; и т.д.

Полученные средние записываются к соответствующему интервалу (второму, третьему и.д.). Сглаженный ряд "укорачивается" по сравнению с фактическим на члена с одного и другого конца, где – количество уровней, входящих в интервал.

Обеспечиваемое при применении способа скользящей средней погашение колебаний величин индивидуальных уровней ряда динамики называется сглаживанием динамического ряда.

Рассмотренные приемы выявления общей тенденции изменения динамического ряда не позволяют получить описание плавной линии развития (тренда) данного ряда. для этой цели используется аналитическое выравнивание, сущность которого заключается в нахождении уравнения, выражающего закономерность изменения явления как функцию времени . Вид уравнения определяется характером динамики развития конкретного явления; если первые разноси уровней приблизительно равны, сглаживание может быть выполнено по прямой. выбор формы кривой может быть основан на анализе графического изображения уровней динамического ряда, (линейной диаграммы), при этом целесообразнее воспользоваться графическим изображением сглаженных уровней, в которых случайные колебания погашены. Наиболее часто используются виды трендовых моделей: линейная – , парабола второго порядка – .

Коэффициенты и для линейной модели находятся из системы нормальных уравнений

Вычислительный процесс нахождения параметров уравнения при сохранении полной идентичности конечных результатов может быть значительно упрощен, если ввести обозначения дат (периодов) времени с помощью натуральных чисел , с тем, чтобы .

а) если количество уровней в ряду динамики нечетное, то временные даты обозначаются следующим образом

Временные даты (периоды)	январь	февраль	март	апрель	май
Уровни ряда динамики
Обозначения временных дат	-2	-1

б) если количество уровней в ряду динамики четное, то обозначения временных дат будут следующие

Временные даты (периоды)	январь	февраль	март	апрель	май	июнь
Уровни ряда динамики
Обозначения временных дат	-5	-3	-1

Тогда система нормальных уравнений при выравнивании по прямой примет вид: , откуда , .

Для упорядочения расчета сумм целесообразно ввести таблицу, например, при выравнивании по прямой

Дата	Уровни ряда динамики	Обозначения временных дат
	…

По полученной модели для каждого периода (каждой даты) определяются теоретические уровни тренда () и стандартная ошибка аппроксимации (среднее квадратическое отклонение) по формуле

;

, – расчетные и фактические значения уровней,

– число уровней ряда,

– число параметров в уравнении тренда.

Аналитическое сглаживание позволяет не только определить общую тенденцию изменения явления на рассматриваемом отрезке времени, но и выполнять расчеты для таких периодов, в отношении которых нет исходных данных.

Нахождение по имеющимся данным за определений период времени некоторых недостающих значений признака внутри этого периода называется интерполяцией.

Нахождение значений признака за пределами анализируемого периода называется экстраполяцией. Применение экстраполяции для прогнозирования должно основываться на предположении, что найденная закономерность развития внутри динамического ряда сохраняется и вне этого ряда.

Задача 5.

Динамика роста числа гражданских исков, принятых к рассмотрению в районных судах, по городу представлена в таблице.

Требуется:

1) произвести сглаживание ряда методом трехлетней скользящей средней;

2) выровнять ряд по прямой;

3) методом экстраполяции определить прогноз показателя на 2002 г

4) начертить графики первичного и вторичного рядов.

Составим вспомогательную таблицу

Дата	Уровни ряда динамики		первые разности			Теоретический уровень

		–	–	-7	-2520	359,7	0,09
		380,7		-5	-1905	380,5	0,25
		401,3		-3	-1203	401,3	0,09
		422,0		-1	-422	422,1	0,01
		442,6		+1		442,9	0,01
		464,0		+3		463,7	0,49
		484,0		+5		484,5	0,25
		–		+7		505,3	0,09
Итого	=					3460	1,28

Для нахождения и используется система нормальных уравнений

;

Для упрощения системы уравнений показатели времени ,обозначаются так, чтобы , тогда система принимает вид: .

Откуда , ..

Модель тренда (линия развития после аналитического выравнивания): .

Вычислим теоретические уровни (графа 8).

Например: и т.д.

Точечный прогноз на 2002г.

(число гражданских исков)

1998г.

2000г.

Графики первичного, выровненного ряда и объем

– первичный ряд

– выровненный ряд

– теоретическая кривая

1998г.

2000г.

Контрольные задания

Задача 1.

По юридическим консультациям города имеются следующие данные за отчетный год:

№ предприятия	Число дел, переданных в суд	Среднегодовая стоимость произведенных работ, тыс.руб.	Среднесписочное число работников, чел.	Прибыль, тыс.руб.
		10,0		13,5
		22,8		136,2
		18,4		97,6
		12,6		44,4
		22,0		146,0
		19,0		110,4
		21,6		138,7
		9,4		30,6
		19,4		111,8
		13,6		49,6
		17,6		105,8
		8,8		30,7
		14,0		64,8
		10,2		33,3

1.1. Требуется выполнить группировку предприятий по числу дел,

переданных в суд, приняв следующие интервалы:

1) до 200; 2) от 200 до 400; 3) от 400 до 600.

По каждой группе и в целом по всем консультациям определить: число консультаций, число дел, среднесписочное число работников, среднюю нагрузку на одного работника. Результаты группировки представить в виде статистической таблицы.

1.2. Решить задачу 1.1., приняв следующие интервалы группировки:

1) до 250. 2) от 250 до 500; 3) от 500 и более

1.3. Решить задачу 1.1., приняв следующие интервалы группировки:

1) до 300. 2) от 300 до 500.; 3) более 500.

1.4. Требуется произвести группировку консультаций по стоимости произведенных работ, приняв следующие интервалы:

1) до 12 тыс.руб. 2) от 12 до 18 тыс.руб.; 3) от 18 тыс.руб. и выше

По каждой группе и в целом по всем консультациям определить: число консультаций, среднегодовую стоимость произведенных работ. Результаты представить в виде статистической таблицы.

1.5. Решить задачу 1.4., приняв следующие интервалы группировки:

1) менее 10 тыс.руб. 2) от 10 до 20 тыс.руб.; 3) более 20 тыс.руб.

1.6. Решить задачу 1.4., приняв следующие интервалы группировки:

1) менее 14 тыс.руб. 2) от 14 до 19 тыс.руб.; 3) от 19 тыс.руб. и более

1.7. Требуется произвести группировку консультаций по численности работников, приняв следующие интервалы:

1) до 100 чел. 2) от 100 до 130 чел.; 3) от 130 чел. и более

По каждой группе и в целом по всем консультациям определить: число консультаций, число дел, среднесписочное число работников, среднюю нагрузку на одного работника, а также среднегодовую стоимость произведенных работ. Результаты группировки представить в виде статистической таблицы.

1.8. Решить задачу 1.7., приняв следующие интервалы группировки:

1) не более 90 чел. 2) от 900 до 140 чел. 3) более 140 чел.

1.9. Требуется произвести группировку предприятий по величине прибыли, приняв следующие интервалы:

1) до 50 тыс.руб. 2) от 50 до 100 тыс.руб.; 3) от 100 до 150 тыс.руб.

1.10. Решить задачу 1.9., приняв следующие интервалы группировки:

1) до 70 тыс.руб. 2) от 70 до 110 тыс.руб.; 3) свыше 110 тыс.руб.

Задача 2.

По каждому из трех юридических отделов фирмы ( -порядковый номер отдела) имеются соответствующие данные о фактическом объеме денежных сумм по заключенным в 2001 г. договорам (, млн.руб.), о плановом задании по росту указанных сумм по договорам на реализацию продукции на 2002г. (,%), а также о фактическом объеме денежных сумм по заключенным в 2002г. договорам (, млн.руб.). Статистические данные приведены в таблице.

Требуется определить в целом по фирме:

1) размер планового задания по росту общей денежной суммы, на которую заключены договора на реализацию продукции в 2002г.;

2) процент выполнения плана по росту общей денежной суммы, на которую заключены договора на реализацию в 2002г.;

3)показатель динамики роста общей денежной суммы.

2.1. 2.6.


30,0	104,0	32,6	31,0	104,0	33,6
48,5	106,0	52,7	49,5	106,0	53,7
60,0	102,5	63,0	61,0	102,5	64,0

2.2. 2.7.


29,0	104,0	31,6	32,0	104,0	34,6
47,5	106,0	51,7	50,5	106,0	54,7
59,0	102,5	62,0	62,0	102,5	65,0

2.3. 2.8.


28,0	104,0	30,6	33,0	104,0	35,6
46,5	106,0	50,7	51,5	106,0	55,7
58,0	102,5	61,0	63,0	102,5	66,0

2.4. 2.9.


27,0	104,0	29,6	34,0	104,0	36,6
45,5	106,0	49,7	52,5	106,0	56,7
57,0	102,5	60,0	64,0	102,5	67,0

2.5. 2.10.


26,0	104,0	28,6	35,0	104,0	37,6
44,5	106,0	48,7	53,5	106,0	57,7
56,0	102,5	59,0	65,0	102,5	68,0

Задача 3.

По каждой из трех профессий ( -порядковый номер профессии: 1-адвокат; 2-следователь; 3-судья) имеются соответствующие данные о числе рабочих профессии (, чел.), о средней заработной плате (, руб.), а также о внутригрупповой дисперсии заработной платы (, руб.²). Статистические данные за месяц приведены в таблице.

Требуется:

1) определить общую дисперсию заработной платы;

2) оценить однородность совокупности по уровню месячной заработной платы;

3) определить, на сколько процентов дисперсия в размере заработной платы обусловлена различиями в профессии и влиянием других причин.

3.1. 3.6.

3.2. 3.7.

3.3. 3. 8.

3.4. 3.9.

3.5. 3.10.

Задача 4. Величина вкладов населения в некоторый банк характеризуется данными. Определить:

1) Цепные и базисные

а) абсолютные приросты;

б) темпы роста и прироста

2) Абсолютное содержание 1 % прироста

3) Среднемесячный объем вкладов за период

4) Среднемесячные темпы роста и прироста за период

5) Предполагая, что выявленная закономерность сохранится и в дальнейшем, спрогнозировать объем вкладов в следующем за исследуемым периодом месяце, используя в качестве закономерности:

а) средний абсолютный прирост;

б) средний темп роста

в) трендовую модель (по уравнению прямой).

Вариант 1. Вариант 2.

Месяц	Величина вкладов, млн. руб.	Месяц	Величина вкладов, млн. руб.
Январь	208,0	Январь	208,0
Февраль	212,0	Февраль	212,0
Март	215,6	Март	215,6
Апрель	218,8	Апрель	218,8
Май	224,6	Май	224,6

Вариант 3. Вариант 4.

Месяц	Величина вкладов, руб.	Месяц	Величина вкладов, руб.
Январь	156,0	Январь	78,0
Февраль	159,0	Февраль	79,5
Март	161,7	Март	53,9
Апрель	164,1	Апрель	54,7
Май	168,4	Май	66,2

Вариант 5. Вариант 6.

Месяц	Величина вкладов, руб.	Месяц	Величина вкладов, руб.
Январь	147,1	Январь	124,2
Февраль	149,9	Февраль	126,2
Март	152,5	Март	128,0
Апрель	154,7	Апрель	129,6
Май	158,8	Май	132,5

Вариант 7. Вариант 8.

Месяц	Величина вкладов, руб.	Месяц	Величина вкладов, руб.
Январь	248,4	Январь	186,3
Февраль	252,4	Февраль	189,3
Март	256,0	Март	192,0
Апрель	159,2	Апрель	194,4
Май	165,0	Май	198,8

Вариант 9. Вариант 10.

Месяц	Величина вкладов, руб.	Месяц	Величина вкладов, руб.
Январь	93,2	Январь	175,6
Февраль	64,7	Февраль	178,5
Март	96,0	Март	181,0
Апрель	97,2	Апрель	183,3
Май	99,4	Май	187,4

Основная литература

1. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики: Учебник. – М.:ИНФРА-М, 1996. – 416 с.

2. Ефимова М.Р., Ганченко О.И., Петрова Е.В. Практикум по общей теории статистики: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2000. – 280 с.

3. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичной обработки данных. М.: Финансы и статистика, 1983.

4. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика, М.; Высшая школа, 2003.

5. Гусаров В.М. Статистика: Учеб. Пособие для вузов. М.; ЮНИТИ-ДАНА, 2001.

6. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики; Учебник/Под ред. И.И. Елисеевой. М.; Финансы и статистика, 1995.

7. Салин В.Н., Чурилова Э.Ю. Практикум по курсу «Статистика» (в системе Statistica). М; Издательский дом «Социальные отношения»; Издательство «Перспектива», 2002.

8. Шмойлова Р.А., Бесфамильная Е.Б., Глубокова Н.Ю. Теория статистики. М.: Финансы и статистика, 1996.

Дополнительная литература

9. Большов Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1983.

Приложение 1

Значения функции Лапласа

x	Ф (х)	x	Ф (х)	х	Ф (х)	x	Ф (х)
0,00	0,0000	0,76	0,2764	1,52	0,4357	2,28	0,4887
0,02	0,0080	0,78	0,2823	1,54	0,4382	2,30	0,4893
0,04	0,0160	0,80	0,2881	1,56	0,4406	2,32	0,4898
0,06	0,0239	0,82	0,2939	1,58	0,4429	2,34	0,4904
0,08	0,0319	0,84	0,2995	1,60	0,4452	2,36	0,4909
0,10	0,0398	0,86	0,3051	1,62	0,4474	2,38	0,4913
0,12	0,0478	0,88	0,3106	1,64	0,4495	2,40	0,4918
0,14	0,1557	0,90	0,3159	1,66	0,4515	2,42	0,4922
0,16	0,0636	0,92	0,3212	1,68	0,4535	2,44	0,4927
0,18	0,0714	0,94	0,3264	1,70	0,4554	2,46	0,4931
0,20	0,0793	0,96	0,3315	1,72	0,4573	2,48	0,4934
0,22	0,0871	0,98	0,3365	1,74	0,4591	2,50	0,4938
0,24	0,0948	1,00	0,3413	1,76	0,4608	2,52	0,4941
0,26	0,1026	1,02	0,3461	1,78	0,4625	2,54	0,4945
0,28	0,1103	1,04	0,3508	1,80	0,4641	2,56	0,4948
0,30	0,1179	1,06	0,3554	1,82	0,4656	2,58	0,4951
0,32	0,1255	1,08	0,3599	1,84	0,4671	2,60	0,4953
0,34	0,1331	1,10	0,3643	1,86	0,4686	2,62	0,4956
0,36	0,1406	1,12	0,3686	1,88	0,4699	2,64	0,4959
0,38	0,1480	1,14	0,3729	1,90	0,4713	2,66	0,4961
0,40	0,1554	1,16	0,3770	1,92	0,4726	2,68	0,4963
0,42	0,1628	1,18	0,3810	1,94	0,4738	2,70	0,4965
0,44	0,1700	1,20	0,3849	1,96	0,4750	2,72	0,4967
0,46	0,1772	1,22	0,3883	1,98	0,4761	2,74	0,4969
0,48	0,1844	1,24	0,3925	2,00	0,4772	2,76	0,4971
0,50	0,1915	1,26	0,3962	2,02	0,4783	2,78	0,4973
0,52	0,1985	1,28	0,3994	2,04	0,4793	2,90	0,4981
0,54	0,2054	1,30	0,4032	2,06	0,4803	2,92	0,4982
0,56	0,2123	1,32	0,4066	2,08	0,4812	2,94	0,4984
0,58	0,2190	1,34	0,4099	2,10	0,4821	2,96	0,49846
0,60	0,2257	1,36	0,4131	2,12	0,4830	2,98	0,49856
0,62	0,2324	1,38	0,4162	2,14	0,4838	3,00	0,49865
0,64	0,2389	1,40	0,4192	2,16	0,4846	3,20	0,49931
0,66	0,2454	1,42	0,4222	2,18	0,4854	3,40	0,49966
0,68	0,25 37	1,44	0,4251	2,20	0,4861	3,60	0,49984
0,70	0,2580	1,46	0,4279	2,22	0,4868	3,80	0,499928
0,72	0,2642	1,48	0,4306	2,24	0,4875	4,00	0,499968
0,74	0,2703	1,50	0,4332	2,26	0,4881	5,00	0,499997

Приложение 2

Таблица значений функции

х
0,0	0,3989	0,3989	0,3989	0,3988	0,3986	0,3984	0,3982	0,3980	0,3977	0,3973
0,1	0,3970	0,3965	0,3961	0,3956	0,3951	0,3945	0,3939	0,3932	0,3925	0,3918
0,2	0,3910	0,3902	0,3894	0,3885	0,3876	0,3867		0,3847		0,3825
0,3	0,3814	0,3802	0,3790	0,3778	0,3765	0,3752	0,3739	0,3726	0,3712	0,3697
0,4	0,3683	0,3668	0,3653	0,3637	0,3612	0,3605	0,3589	0,3572	0,3555	0,3538
0,5	0,3521	0,3503	0,3485	0,3467	0,3448	0,3429	0,3410	0,3391	0,3372	0,3352
0,6	0,3332	0,3312	0,3292	0,3271	0,3251	0,3230		0,3187	0,3166	0,3144
0,7	0,3123	0,3101	0,3079	0,3056	0,3034	0,3011	0,2989	0,2966	0,2943	0,2920
0,8	0,2897	0,2874	0,2850	0,2827	0,2803	0,2780	0,2756	0,2732	0,2709	0,2685
0,9	0,2661	0,2637	0,2613	0,2589	0,2565	0,2541	0,2516	0,2492	0,2468	0,2444
1,0	0,2420	0,2396	0,2371	0,2347	0,2323	0,2299	0,2275	0,2251	0,2227	0,2203
1,1	0,2179	0,2155	0,2131	0,2107	0,2083	0,2059	0,2036	0,2012	0,1989	0,1965
1,2	0,1942	0,1919	0,1895	0,1872	0,1849	0,1826	0,1804	0,1781	0,1758	0,1736
1,3	0,1714	0,1691	0,1669	0,1647	0,1626	0,1604	0,1582	0,1561	0,1539	0,1518
1,4	0,1497	0,1476	0,1456	0,1435	0,1415	0,1394	0,1374	0,1354	0,1334	0,1315
1,5	0,1295	0,1276	0,1257	0,1238	0,1219	0,1200	0,1182	0,1163	0,1145	0,1127
1,6	0,1109	0,1092	0,1074	0,1057	0,1040	0,1023	0,1006	0,0989	0,0973	0,0957
1,7	0,0940	0,0925	0,0909	0,0893	0,0878	0,0863	0,0848	0,0833	0,0818	0,0804
1,8	0,0790	0,0775	0,0761	0,0748	0,0734	0,0721	0,0707	0,0694	0,0681	0,0669
1,9	0,0656	0,0644	0,0632	0,0620	0,0608	0,0596	0,0584	0,0573	0,0562	0,0551
2,0	0,0540	0,0529	0,0519	0,0508	0,0498	0,0488	0,0478	0,0468	0,0459	0,0449
2,1	0,0440	0,0431	0,0422	0,0413	0,0404	0,0396	0,0387	0,0379	0,0371	0,0363
2,2	0,0355	0,0347	0,0339	0,0332	0,0325	0,0317	0,0310	0,0303	0,0297	0,0290
2,3	0,0283	0,0277	0,0270	0,0264	0,0258	0,0252	0,0246	0,0241	0,0235	0,0229
2,4	0,0224	0,0219	0,0213	0,0208	0?0203	0,0198	0,0194	0,0189	0,0184	0,0180
2,5	0,0175	0,0171	0,0167	0,0163	0,0158	0,0154	0,0151	0,0147	0,0143	0,0139
2,6	0,0136	0,0132	0,0129	0,0126	0,0122	0,0119	0,0116	0,0113	0,0100	0,0107
2,7	0,0104	0,0101	0,0099	0,0096	0,0093	0,0091	0,0088	0,0086	0,0084	0,0081
2,8	0,0079	0,0077	0,0075	0,0073	0,0071	0,0069	0,0067	0,0065	0,0063	0,0061
2,9	0,0060	0,0058	0,0056	0,0055	0,0053	0,0051	0,0050	0,0048	0,0047	0,0046
3,0	0,0044	0,0043	0,0042	0,0040	0,0039	0,0038	0,0037	0,0036	0,0035	0,0034
3,1	0,0033	0,0032	0,0031	0,0030	0,0029	0,0028	0,0027	0,0026	0,0025	0,0025
3,2	0,0024	0,0023	0,0022	0,0022	0,0021	0,0020	0,0020	0,0019	0,0018	0,0018
3,3	0,0017	0,0017	0,0016	0,0016	0,0015	0,0015	0,0014	0,0014	0,0013	0,0013
3,4	0,0012	0,0012	0,0012	0,0011	0,0011	0,0010	0,0010	0,0010	0,0009	0,0009
3,5	0,0009	0,0008	0,0008	0,0008	0,0008	0,0007	0,0007	0,0007	0,0007	0,0006
3,6	0,0006	0,0006	0,0006	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0004
3,7	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003
3,8	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002
3,9	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0001	0,0001