Середня арифметична, основні її властивості

Оскільки для більшості соціально-економічних явищ характерна адитивність обсягів, то найпоширенішою є арифметична середня, яка розраховується діленням обсягу значень ознаки на обсяг сукупності.

Середня арифметична застосовується у формі простої середньої і зваженої середньої.

Середня арифметична проста застосовується в таких випадках, коли всі варіанти зустрічаються один раз, або мають однакові частоти в досліджуваній сукупності. Її отримують шляхом додаванням окремих варіантів і діленням суми на число доданків.

Формула середньої арифметичної простої має вигляд:

,

де – середнє значення ознаки;

– окремі варіанти ознаки;

n – кількість варіантів.

У великих за обсягом сукупностях окремі значення ознаки (варіанти) можуть повторюватись. У такому разі їх можна об’єднати в групи, а обсяг значень ознаки визначити як суму добутків варіант на відповідні їм частоти. Такий процес множення у статистиці називають зважуванням, а число елементів сукупності з однаковими варіантами – вагами. Сама назва “ваги” відбиває факт різновагомості окремих варіант. Значення ознаки осереднюються за формулами середньої арифметичної зваженої:

1) якщо відомо значення ознаки (Х) та частоти ознаки (f):

2) якщо відомо обсяг сукупності (m) та частоти ознаки (f):

4.
. якщо відомо значення ознаки (Х) та показники частки (f’):

Приклад.

За наступними даними про заробітну плату і чисельність робітників розрахувати середній рівень заробітної плати.

Розв’язок

Оскільки за умовою задачі відомо значення ознаки (Х) та частоти ознаки (f), розрахунок буде здійснено наступним чином:

Формально між середньою арифметичною простою і середньою арифметичною зваженою немає принципових відмінностей. Адже багаторазове підсумовування значень однієї варіанти замінюється множенням варіант на вагу. Проте функціонально середня зважена більш навантажена, оскільки враховує поширеність, повторюваність кожної варіанти і певною мірою відображує склад сукупності. Значення середньої зваженої залежить не лише від значень варіант, а й від структури сукупності. Чим більшу вагу мають малі значення ознаки, тим менша середня, і навпаки.

Іноді середні величини потрібно обчислити не з конкретних значень варіантів досліджуваної ознаки, а із значень величин, виражених у вигляді інтервалів. В таких випадках потрібно для кожного інтервалу знайти його середину за простою середньою між верхньою і нижньою межею кожного інтервалу і після цього проводити обчислення за формулою середньої арифметичної зваженої.

Приклад.

Розрахувати середню собівартість продукції.

Середня арифметична має деякі математичні властивості, що мають е стимуля значення. Найважливіші з них такі:

1) Якщо всі варіанти збільшити або зменшити на одне й теж число (А), то й середня арифметична збільшиться (зменшиться) на теж число (А):

2) Якщо всі варіанти збільшити або зменшити в одне й теж число (В) раз, то й середня арифметична відповідно збільшиться (зменшиться) в (В) раз:

4.
. Якщо всі частоти (ваги) поділити або помножити на яке-небудь число (К), то середня арифметична від цього не зміниться:

4.
. Алгебраїчна сума відхилень окремих варіант ознаки від середньої дорівнює нулю:

,

тобто в середній взаємно компенсуються додатні та від’ємні відхилення окремих варіант.

5) Сума квадратів відхилень окремих варіант ознаки від середньої менша, ніж від будь-якої іншої величини:

Використання першої і другої властивостей середньої арифметичної дозволяє значно спростити її обчислення. Цей метод в статистиці називають методом моментів, або метод відліку від умовного нуля. Розглянемо спрощений спосіб обчислення середньої арифметичної методом моментів за даними попереднього прикладу.

Продуктивність праці, од./люд.	Середина інтервалу (X)	Чисельність робітників, люд. (f)	Скорочені варіанти	Зважені скорочені варіанти
Х-А А=206	К=4
200-204			-4	-1	-10
204-208
208-212
212-216
216-220
220-224
224-228
Разом	х		х	х

Формула для знаходження середньої арифметичної способом моментів має вигляд:

,

де – момент першого порядку.

Визначимо момент першого порядку:

Підставляємо значення в формулу:

Отже, було отримано той самий результат, що й при обчисленні за звичайною формулою середньої арифметичної зваженої.