Параметрически заданные функции и их дифференцирование

Первую производную функции, заданной параметрически

находим по формуле .

Вторую производную удобно вычислять по формуле: .

Пример. Найти производную второго порядка функции

Решение. Согласно формуле:

Далее, .

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя дает возможность раскрыть некоторые виды неопределенности, используя производную. Оно основывается на данной ниже теореме.

Теорема. Пусть функции и определенные и дифференцируемые в окружности точки , за исключением, возможно, самой точки а, и пусть в этой окружности. Если функции и являются одновременно бесконечно малыми или бесконечно большими при и к тому же существует отношение производных , то существует также предел , причем эти пределы равны между собой: = .

Теорема справедлива и в том случае, когда . Если производные и , n > 2, удовлетворяют тем же самым условиям, что и функции и , то = .

Теорема дает возможность раскрыть неопределенность типа , которые будем называть основными. Чтобы раскрыть неопределенности типа 0, необходимо вначале привести их к основным и применить правило Лопиталя.

Пример.

1.

2. =

3.

4.

5.

Откуда, .

6. , действительно,

.

Напомним, что во многих случаях пользуемся равенством .