Производная сложной функции

Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция, причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые, то . Аргумент u часто называют промежуточной переменной. Это правило выполняется для сложной функции, которая имеет конечное число промежуточных аргументов. Если, например, у = f(u) и u = u(v), v=v(x), то , если f(u), u(v) и v(x) - дифференцируемые.

Формулы дифференцирования основных функций

1. 8.

2. , 9. ,

3. 10.

4. 11.

5.

6. 12.

7. 13.

Примеры. Найти производные функций:

1. у = х4 – 2х3 + 3х + 1

Решение. Используя правила и формулы дифференцирования, получаем: (х4 – 2х3 + 3х + 1)' = = .

2.

Решение. Поскольку , то = .

3.

Решение. Имеем произведение функций, поэтому

4.

Решение. Данная функций является сложной: у = f(u), u = u(x), где u = х2 + 2х..