Основные понятия и определения

Статистической гипотезой называется предположение о виде неизвестного распределения случайной величины или о параметрах известного распределения. Наряду с проверяемой гипотезой (нулевой или основной) Н_о формулируется и противоречащая ей гипотеза (конкурирующая или альтернативная) Н ₁, которая принимается, если отвергнута нулевая гипотеза.

Гипотезы разделяются на простые (содержащие только одно предположение) и сложные (содержащие более одного предположения).

При проверке гипотезы могут быть допущены ошибки двух видов: ошибка первого рода, если отклонена верная нулевая гипотеза, и ошибка второго рода, если принята неверная нулевая гипотеза.

Для проверки статистической гипотезы используется специально подобранная случайная величина К с известным законом распределения, называемая статистическим критерием. Множество ее возможных значений разбивается на два непересекающихся подмножества: одно из них (критическая область) содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отклоняется, второе (область принятия гипотезы) – значения К, при которых она принимается. Значения К, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы, называются критическими точками k_р. Критическая область может быть правосторонней (если она задается неравенством ), левосторонней () или двусторонней (). Для ее нахождения нужно задать вероятность ошибки первого рода α, называемую уровнем значимости, тогда, например, правосторонняя критическая область задается условием .

Таким образом, множество возможных значений статистики критерия (критической статистики) разбивается на два непересекающихся подмножества: критическую область (область отклонения гипотезы) W и область допустимых значений (область принятия гипотезы) . Если фактически наблюдаемое значение статистики критерия попадает в критическую область W, то гипотезу H₀ отвергают. При этом возможны 4 случая.

Порядок проверки статистической гипотезы:

1) задается уровень значимости α, выбирается статистический критерий К и вычисляется (обычно по таблицам для закона распределения К) значение k_кр; определяется вид критической области;

2) по выборке вычисляется наблюдаемое значение критерия К_набл;

3) если К_набл попадает в критическую область, нулевая гипотеза отвергается; при попадании К_набл в область принятия гипотезы нулевая гипотеза принимается.

По своему прикладному содержанию статистические гипотезы можно разделить на несколько основных типов:

- о равенстве числовых характеристик генеральных совокупностей;

- о числовых значениях параметров;

- о законе распределения;

- об однородности выборок (т.е. принадлежности их одной и той же генеральной совокупности);

- о стохастической независимости элементов выборки.

Рассмотрим способы проверки некоторых статистических гипотез.