Краткие сведения из теории и примеры решения задач

Пусть прямые l₁ и l₂ заданы уравнениями и . Угол между прямыми определяется по формуле .

Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов: .

Условием перпендикулярности прямых является равенство (угловые коэффициенты обратно пропорциональны и имеют противоположные знаки).

Пусть заданы прямая и точка М₀(х₀;у₀). Расстояние от точки до прямой определяется по формуле .

Пример 1. Найти расстояние от точки М₀(2;-1) до прямой .

По формуле получаем лин. ед.

Пример 2.

Даны вершины треугольника АВС: А (-2;3), В (1; 12), С (11; 6). Найти:

-2

Рисунок 1

1) уравнение стороны АВ; 2) уравнение высоты СD; 3) уравнение медианы АЕ; 4) точку пересечения медианы АЕ и высоты СD.

Решение. Построим треугольник в прямоугольной системе координат по заданным точкам (рис.1).

1) Уравнение прямой, проходящей через две точки А(х₁;у₁) и В(х₂;у₂) имеет вид . Подставим в это уравнение координаты точек А (-2;3), В (1;12). Получим → → → .

- уравнение стороны АВ.

2) Высота СD перпендикулярна стороне АВ. Поэтому их угловые коэффициенты связаны соотношением: k_C_Д=-1/k_АВ. Уравнение прямой АВ запишем в виде (уравнение прямой с угловым коэффициентом k): . Из этого уравнения определяем угловой коэффициент прямой АВ: k_АВ= 3. Тогда угловой коэффициент прямой СD: k_C_Д= -1/3.

Для составления уравнения высоты, используем уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через данную точку: . Подставим в это уравнение координаты точки С (11; 6) и угловой коэффициент k_C_Д. Получим искомое уравнение высоты СD.

→ → - уравнение СД.

Определим координаты точки Е, которая является серединой отрезка ВС. Координаты середины отрезка находятся по формулам: , , где (х₁;у₁) и (х₂;у₂) –координаты отрезка.

Используя координаты вершин В (1; 12) и С (11; 6), получим

, . Координаты точки Е (6;9).

Чтобы составить уравнение медианы АЕ, используем уравнение прямой, проходящей через две точки . Подставляем координаты точек А(-2;3) и Е(6;9) в формулу, получаем: → → → .