2015-10-22
3991
Теоретичні відомості
Норми вектора визначаються за формулами:
1. Абсолютна норма (норма l 1 або 1-норма) 
.
2. Евклідова норма (норма l 2 або 2-норма) 
.
3. Максимальна норма (норма l ∞ або ∞-норма) 
.
Норми матриці обчислюються за формулами:
1. Перша норма (1-норма) 
.
2. Нескінченна норма (∞-норма) 
.
3. Евклідова норма 
.
Для знаходження першої норми потрібно знайти суму модулів елементів кожного із стовпців матриці та вибрати максимальну з цих сум.
Для обчислення норми за нескінченністю потрібно аналогічні дії виконати з рядками матриці А.
Приклад 1.1. Знайти норми вектора та матриці: 
, 
.
,
,
,
,
,
.
Абсолютна помилка вектора 
визначається за формулою 
.
Відносна помилка вектора : 
.
Число обумовленості матриці А характеризує величину можливого зростання відносної погрішності рішення системи 
, викликаного погрішністю вихідних даних і обчислюється за формулою:
.
Якщо 
, то система називається погано обумовленою. Розв’язок такої системи дуже чутливий до малих погрішностей вхідного вектора b.
Для погрішності наближеного розв’язку системи лінійних рівнянь справедлива оцінка:
.
Функції Mathcad norm1 (A), norm2 (A), norme (A), normi (A) обчислюють величини 
, 
, 
, 
відповідно. Вбудованих функцій для обчислення норм векторів немає.
Функції cond1 (A), cond2 (A), conde (A), condi (A) обчислюють відносне число обумовленості квадратної матриці А, використовуючи відповідні норми.
Завдання
1. Обчислити норми вектора .
2. Обчислити норми матриці 
.
3. Дана система рівнянь Ax=b. Дослідити залежність погрішності розв’язку x від погрішностей правої частини системи b.
Порядок виконання
Обчислення норм вектора
| Для обчислення максимальної норми вектора зручно скористатися вбудованою функцією max(v). |
| Евклідова норма вектора обчислюється за допомогою клавіші |x| панелі Calculator. |
| Для обчислення суми модулів елементів вектора використовується кнопка на панелі Matrix. |
Обчислення норм матриці
Обчислення суми модулів елементів кожного стовпця матриці:
| Для вводу елементів вектора використовуйте відповідні кнопки на панелі Matrix
|
Перша норма матриці А дорівнює максимальному з цих значень:
Обчислення суми модулів елементів кожного рядка матриці:
Нескінчена норма:
Обчислення норм матриці за допомогою вбудованих функцій:
Обчислення числа обумовленості матриці за визначенням. Для цього знайдемо норми оберненої матриці.
Перемноживши, отримаємо:
Результат вбудованої функції:
Дослідження системи лінійних рівнянь
Визначення матриці системи A і вектора правої частини b:
Розв’язаннясистеми Ax=b використовуючи вбудовану функцію lsolve (A, b) (ця функція реалізує метод Гауса):
Внесення похибки у праву частину системи:
Розв’язок системи з похибкою:
– абсолютна похибка вхідних даних;
– відносна похибка вхідних даних.
За допомогою вбудованої функції cond1(A) обчислити число обумовленості матриці A:
– теоретична оцінка похибки розв’язку;
– практична абсолютна похибка розв’язку;
– практична відносна похибка розв’язку;
– порівняння похибки розв’язку з похибкою вихідних даних.
Контрольні питання
1. Як визначаються норми вектора?
2. Як визначаються норми матриці?
3. Види погрішностей.
4. Оцінка погрішностей з використанням норм.
5. Визначення числа обумовленості матриці.
6. Що таке погано обумовлена система рівнянь?
1. Обчислити норми векторів 
, 
, 
.
2. Обчислити норми матриці A = 
.
3. Дано 2 вектори x1= (–3,2.4, 5.5) і x2= (–3.1, 2.4, 5.4), що є наближеннями до вектора x =(–3, 2, 5). Який з векторів є точнішим наближенням до вектора x?
3. Знайти відносне число обумовленості матриці 
.
4. Що повертає функція condi(A)?
